问题及解答

设级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的部分和为 $S_n$. 如果 $S_{2n}\rightarrow S$, 且 $a_n\rightarrow 0$, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛.

References:

梅加强, 《数学分析》 习题8.1(P.277)  Ex. 3

Pf.  由条件, 

\[
S_{2n+1}=S_{2n}+a_{2n+1}\rightarrow S+0=S,\quad(n\rightarrow\infty).
\]

因此 $\lim\limits_{n\rightarrow}S_n$ 收敛且等于 $S$. 这说明 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛.

这里用到了数列收敛的一个性质: (见问题3251)

数列 $\{a_n\}$ 收敛当且仅当其奇子列和偶子列收敛于同一极限. (见梅加强《数学分析》P.36, 习题17.)