问题及解答

P. 112  习题 3.1

5.  设实数 $a_0, a_1, \ldots, a_n$ 满足 $a_0+\dfrac{a_1}{2}+\dfrac{a_2}{3}+\cdots+\dfrac{a_n}{n+1}=0$, 证明: 方程 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根.

6.  利用中值定理证明下列不等式:

(1)  $\arctan a-\arctan b < a-b$       $(0 < b < a)$;

10.    设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 在开区间 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)=0$, 证明:  至少存在一点 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=0$.

与 10 类似的题目是:

(10').    设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续, 在开区间 $(a,b)$ 内可导, 且 $f(a)=f(b)$, 证明:  至少存在一点 $\xi\in(a,b)$, 使得 $f(\xi)+\xi f'(\xi)=f(a)$.

12. 证明: 若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足关系式 $f'(x)=f(x)$, 且 $f(0)=1$, 那么 $f(x)=e^x$.

5. 证明:

考虑函数

\[
\varphi(x)=a_0 x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\frac{a_3}{4}x^4+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
\]

则 $\varphi(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 在 $(0,1)$ 上可导, 又 $\varphi(0)=0$. 并且由题设, $\varphi(1)=0$. 因此由 Rolle 中值定理, 存在 $\xi\in(0,1)$, 使得 $\varphi'(\xi)=0$. 而

\[
\varphi'(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots+a_n x^n
\]

故方程 $a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots+a_n x^n=0$ 在 $(0,1)$ 上至少有一个根.

10.

[分析] 从要证的式子 $f(\xi)+\xi\cdot f'(\xi)=0$ 出发, 将 $\xi$ 换成 $x$, 等式左边变为 $f(x)+x\cdot f'(x)$. 因此考虑 $xf(x)$, 它的导数就是 $f(x)+x\cdot f'(x)$.

证明: 令 $\varphi(x)=xf(x)$, 则 $\varphi(x)$ 是 $[a,b]$ 上的连续函数, 且在 $(a,b)$ 上可导. 并且

\[
\varphi(a)=a\cdot f(a)=0=b\cdot f(b)=\varphi(b).
\]

由 Rolle 中值定理, 存在 $\xi\in(a,b)$, 使得 $\varphi'(\xi)=0$, 即 $f(\xi)+\xi\cdot f'(\xi)=0$.

(10')  考虑函数 $\varphi(x)=xf(x)-xf(a)$.

12.   (这里我们使用微分中值定理证明.)

[分析]  既然要证明 $f(x)=e^x$, 则一般我们考虑 $\varphi(x)=f(x)-e^x$ 或 $\varphi(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}$. 如果是前者, 我们可以证明 $\varphi^{(n)}(0)=\varphi'(0)=0$, 对任意 $n\in\mathbb{N}$. 但是无法得到 $\varphi(x)\equiv 0$. 

注: 由 $f'(x)=f(x)$ 对任意 $x\in\mathbb{R}$ 成立, 可以推出 $f^{(n)}(x)$ 存在且等于 $f(x)$, 即 $f(x)$ 是光滑函数. 事实上, 由下式

\[
f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}
\]

推出 $f''(x)$ 存在且等于 $f'(x)$. 依次类推, 有 $f^{(n)}(x)=f'(x)=f(x)$.
 

Proof. 令 $\varphi(x)=\dfrac{f(x)}{e^x}$, 则

\[
\varphi'(x)=\frac{f'(x)\cdot e^x-f(x)\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{f'(x)-f(x)}{e^x}
\]

由题设 $f'(x)=f(x)$, 对 $\forall\ x\in\mathbb{R}$, 因此 $\varphi'(x)\equiv 0$. 因此, 可由微分中值定理推出 $\varphi(x)\equiv C$. 事实上, 任取 $x\neq 0$, 存在 $\xi\in(0,x)$ 或 $(x,0)$, 使得

\[
\varphi(x)-\varphi(0)=\varphi'(\xi)(x-0)=0.
\]

而 $\varphi(0)=\dfrac{f(0)}{e^0}=1$, 因此, $\varphi(x)\equiv 1$. 即 $f(x)=e^x$.

6.  (1)

考虑函数 $f(x)=\arctan x$. 它是 $[b,a]$ 上的连续函数, 在 $(b,a)$ 上可导. 因此由 Lagrange 微分中值定理, 存在 $\xi\in(b,a)$, 使得

\[
\frac{\arctan a-\arctan b}{a-b}=\frac{1}{1+\xi^2}
\]

由于 $0 < b$, 故 $\xi > 0$.  所以 $\frac{1}{1+\xi^2} < 1$. 因此

\[
\arctan a-\arctan b < a-b
\]