问题及解答

求解方程 $y^{″}(x)=m^{2}y(x)$ 和 $y^{″}(x)=-m^{2}y(x)$.  这里 $m>0$.

[Hint]

$y^{″}(x)-m^{2}y(x)=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2-m^2=0$. 得 $\lambda =\pm m$. 于是, 通解为

$$y(x)=C_1{e}^{mx}+C_2{e}^{-mx}$$

$y^{″}(x)+m^{2}y(x)=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2+m^2=0$. 得 $\lambda =\pm mi$, 这里 $i=\sqrt{-1}$. 于是, 通解为

$$\begin{array}{rl}y(x)& =C_1{e}^{mix}+C_2{e}^{-mix}\\ & =C_1(\cos (mx)+i\sin (mx))+C_2(\cos (mx)-i\sin (mx))\\ & =(C_1+C_2)\cos (mx)+i(C_1-C_2)\sin (mx)\end{array}$$

因此通解也可表示为

$$y(x)=C_1\cos (mx)+C_2\cdot i\sin (mx)$$

除了特征方程的方法, 对于 $y^{″}=m^{2}y$ 或类似的形如 $y^{″}=f(y)$ 的常微分方程, 可以令 $y^{\prime }=p(y)$. 从而 $y^{″}=p^{\prime }(y)\cdot y^{\prime }$. 于是原方程变为

$$\frac{dp(y)}{dy}\cdot p(y)=m^{2}y\Rightarrow p(y)dp(y)=m^{2}ydy$$

Remark:

思考: 上面为什么可以令 $y^{\prime }(x)=p(y)$ ? 也就是 $y^{\prime }(x)$ 为什么可以是 $y$ 的函数?

当高阶常微分方程中不含有 $y$, 则可令 $p(x)=y^{\prime }(x)$, 从而降阶.