问题及解答

设 $n$ 是正整数, 证明 $n$ 和 $n^5$ 具有相同的个位数.

Remark:

题目原文:

Prove that if $n$ is an integer, then $n$ and $n^5$ have the same units digit (first digit from the right).

注: units digit 指个位数, 即从右起第一个数字.

问题即证明 $n^5\equiv n\pmod{10}$, 或等价的, $10|(n^5-n)$.

\[
n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1).
\]

于是 $2|(n^5-n)$ 是显然的.  下证 $5|(n^5-n)$.

只需对 $n=5k$, $5k+1$, $5k+2$, $5k+3$, $5k+4$ 分别证明即可.

(1) 若 $n=5k+1$, 则 $n-1=5k$, 从而 $5|(n^5-n)$.

(2) 若 $n=5k+2$, 则 $n^2+1=(5k+2)^2+1=25k^2+20k+5$, 从而 $5|(n^5-n)$.

(3) 若 $n=5k+3$, 则 $n^2+1=(5k+3)^2+1=25k^2+30k+10$, 从而 $5|(n^5-n)$.

(4) 若 $n=5k+4$, 则 $n+1=5k+5$, 从而 $5|(n^5-n)$.

或者使用模运算的方式证明.