问题及解答

实数域内分解 $1+x^4$.

因为 $1+x^4$ 没有实根, 故设

\[
1+x^4=(x^2+px+q)(x^2+ax+b).
\]

将右端展开, 得

\[
\begin{split}
(x^2+px+q)(x^2+ax+b)&=x^4+ax^3+bx^2\\
&\qquad +px^3+pax^2+pbx\\
&\qquad\qquad+qx^2+qax+qb\\
&=x^4+(p+a)x^3+(b+pa+q)x^2+(pb+qa)x+qb
\end{split}
\]

于是, 我们得到下面的方程组

\[
\left\{
\begin{aligned}
p+a&=0,\qquad (1)\\
b+pa+q&=0,\qquad (2)\\
pb+qa&=0,\qquad (3)\\
qb&=1,\qquad (4)
\end{aligned}\right.
\]

由 (1),  $a=-p$; 由 (4), $b=-\frac{1}{q}$. 将它们代入 (2) 和 (3), 得

\[
\left\{
\begin{aligned}
-p^2+\frac{1}{q}+q&=0,\qquad(5)\\
\frac{p}{q}-pq&=0.\qquad(6)
\end{aligned}\right.
\]

由 (6), $p=0$ 或 $q^2=1$.  若 $p=0$, 则 $q$, $b$ 一个是 $i=\sqrt{-1}$, 一个是 $-i$. 也就是,

\[1+x^4=(x^2+i)(x^2-i).\]

现在在实数域内进行分解, 则舍去. 

容易解得 $q=1$, 则由 (5) 得 $p^2=2$. 于是,

\[
1+x^4=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)
\]