问题及解答

[Cor 5.9]([Boothby]) 设 $N$ 和 $M$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维 $C^\infty$ 流形,  $F:\ N\rightarrow M$ 是 $C^\infty$ 映射. $a\in M$, 如果在 $A=F^{-1}(a)$ 中每一点处, $F$ 的秩都等于 $m$, 则 $A$ 是 $N$ 的一个闭的正则子流形.

[Boothby] An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry.

Pf.  $\forall p\in A$, $\mathrm{rank}_p(F)=m$, 则存在 $p$ 的一个开邻域 $V_p\subset N$, s.t., $\mathrm{rank}_x(F)\geqslant m$, $\forall\ x\in V_p$. 而 $F$ 的秩不可能超过 $\inf\{m,n\}=m$, 故

\[\mathrm{rank}_x(F)=m,\quad\forall\ x\in V_p.\]

令 $U=\cup_{p\in A}V_p$, 则 $U$ 是 $N$ 中包含 $A$ 的开集, 从而是 $N$ 的子流形. 于是可以应用 [Boothby] 中的定理 5.8, 知 $A=F^{-1}(a)$ 是 $U$ 中的维数为 $n-m$ 的闭的正则子流形.