设 $z=f(u,v)=f(x^2+y^2,xy)$, 这里 $f(u,v)$ 一阶连续可微, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$.
[Idea]
输入 z=f(u,v), 系统确认 z 是关于 u 和 v 的二元函数.
u=x^2+y^2, 确认 u=u(x,y) 是关于 x,y 的二元函数, 且 u(x,y)=x^2+y^2
v=xy, 确认 v=v(x,y) 是关于 x,y 的二元函数, 且 v(x,y)=xy
然后输入 z'_x , z'_y 得到偏导数.
1
\[
\begin{split}
z'_x&=f'_u\cdot u'_x+f'_v\cdot v'_x\\
&=f'_u\cdot 2x+f'_v\cdot y\\
&=2xf'_u+yf'_v.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
z''_{xy}&=\bigl(2xf'_u+yf'_v\bigr)'_y\\
&=2x\bigl(f''_{uu}\cdot u'_y+f''_{uv}\cdot v'_y\bigr)+1\cdot f'_v+y\cdot\bigl(f''_{vu}\cdot u'_y+f''_{vv}\cdot v'_y\bigr)\\
&=2x\bigl(f''_{uu}\cdot 2y+f''_{uv}\cdot x\bigr)+f'_v+y\bigl(f''_{vu}\cdot 2y+f''_{vv}\cdot x\bigr)\\
&=4xyf''_{uu}+2x^2 f''_{uv}+f'_v+2y^2 f''_{vu}+xyf''_{vv}.
\end{split}
\]
注意 $f''_{uv}$ 和 $f''_{vu}$ 可能不相等. 当它们两者至少有一个是连续时才相等.