问题及解答

在有理整数集合 $\mathbb{Z}$ 上定义二元运算 "$*$" 为

\[
n*m=-n-m,\quad n,m\in\mathbb{Z}
\]

1. 证明这个二元运算是交换的, 但不是结合的.

2. 此二元运算 $*$ 满足

\[
(n*m)*m=m*(m*n)=n.
\]

Remark:

题目来自于 潘承洞、潘承彪 著《代数数论》

$*:\ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$

有时也记 $n*m=*(n,m)$

1. 

\[
*(n,m)=-n-m=-m-n=*(m,n)
\]

因此 $*$ 运算是可交换的.

但是

\[
\begin{aligned}
*(*(n,m),p)&=*(-n-m,p)=-(-n-m)-p=n+m-p,\\
*(n,*(m,p))&=*(n,-m-p)=-n-(-m-p)=-n+m+p,
\end{aligned}
\]

故 $*$ 运算不是结合的.

2. 

\[
(n*m)*m=(-n-m)*m=-(-n-m)-m=n+m-m=n,
\]

\[
m*(m*n)=m*(-m-n)=-m-(-m-n)=-m+m+n=n.
\]

故 $(n*m)*m=m*(m*n)$.

Remark:

以上用到了整数加法的交换律和结合律.