问题及解答

假设 $M^n$ 是个非紧完备的具有非负截面曲率的黎曼流形, 则存在一个全凸的紧致无边子流形 $S$(称为灵魂), $0\leqslant\dim S < n$, 使得 $M^n$ 微分同胚于 $S$ 在 $M^n$ 中的法向量丛 $NS$.
更进一步的, 若 $X,Y\in TM$ 满足 $X\perp S$, $Y\in TS$, 则 $K(X,Y)\cong 0$. (这里 $K(X,Y)$ 表示由 $X,Y$ 张成的截面曲率.)

注: 结论也可以这样说, “则存在一个紧致无边的全测地子流形 $S$, 且是凸的, $0\leqslant\dim S < n$, 使得 $M^n$ 微分同胚于 $S$ 在 $M^n$ 中的法向量丛.” 因为根据 Cartan-Hadamard 定理, 此时凸推出全凸, 参见问题304.

References:
曹建国, 王友德 著 现代黎曼几何简明教程. 科学出版社. 2006.