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问题及解答

2sin(x+2y3z)=x+2y3z, 证明: zx+zy=1.

Posted by haifeng on 2023-03-29 13:16:42 last update 2023-03-29 13:16:42 | Edit | Answers (2)

2sin(x+2y3z)=x+2y3z, 证明: zx+zy=1.

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Posted by haifeng on 2023-03-29 16:41:30

(法一)  方程两边对 x 求偏导, z 看成 x,y 的二元函数. (当然这个需要隐函数存在定理.)

2cos(x+2y3z)(13zx)=13zx

这推出或者 cos(x+2y3z)=12, 或者 zx=13.

如果 cos(x+2y3z)=12, 则 sin(x+2y3z)=±32.

cos(x+2y3z)=12 两边再次对 x 求偏导数, 得

sin(x+2y3z)(13zx)=0

由于 sin(x+2y3z)0, 故得 zx=13.

总之, 两种情况下都有 zx=13.


原方程两边对 y 求偏导, z 看成 x,y 的二元函数.

2cos(x+2y3z)(23zy)=23zy

同样, 推出或者 cos(x+2y3z)=12, 或者 zy=23.

而当  cos(x+2y3z)=12 时, 两边对 y 求偏导数, z 看成 x,y 的二元函数.

sin(x+2y3z)(23zy)=0,

由于此时 sin(x+2y3z)0, 故 zy=23. 即两种情形都推出 zy=23.

综上, 总有

zx+zy=1.

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Posted by haifeng on 2023-03-29 20:01:25

(法二)

F(x,y,z)=2sin(x+2y3z)x2y+3z, 则

Fx=2cos(x+2y3z)1,Fy=4cos(x+2y3z)2,Fz=6cos(x+2y3z)+3.

于是,

zx=FxFz=2cos(x+2y3z)16cos(x+2y3z)+3=13,zy=FyFz=4cos(x+2y3z)26cos(x+2y3z)+3=23,

因此,

zx+zy=1.