Posted by haifeng on 2023-03-29 13:16:42 last update 2023-03-29 13:16:42 | Edit | Answers (2)
设 2sin(x+2y−3z)=x+2y−3z, 证明: ∂z∂x+∂z∂y=1.
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Posted by haifeng on 2023-03-29 16:41:30
(法一) 方程两边对 x 求偏导, z 看成 x,y 的二元函数. (当然这个需要隐函数存在定理.)
2cos(x+2y−3z)⋅(1−3∂z∂x)=1−3∂z∂x
这推出或者 cos(x+2y−3z)=12, 或者 zx′=13.
如果 cos(x+2y−3z)=12, 则 sin(x+2y−3z)=±32.
对 cos(x+2y−3z)=12 两边再次对 x 求偏导数, 得
−sin(x+2y−3z)⋅(1−3zx′)=0
由于 sin(x+2y−3z)≠0, 故得 zx′=13.
总之, 两种情况下都有 zx′=13.
原方程两边对 y 求偏导, z 看成 x,y 的二元函数.
2cos(x+2y−3z)⋅(2−3zy′)=2−3zy′
同样, 推出或者 cos(x+2y−3z)=12, 或者 zy′=23.
而当 cos(x+2y−3z)=12 时, 两边对 y 求偏导数, z 看成 x,y 的二元函数.
−sin(x+2y−3z)⋅(2−3zy′)=0,
由于此时 sin(x+2y−3z)≠0, 故 zy′=23. 即两种情形都推出 zy′=23.
综上, 总有
∂z∂x+∂z∂y=1.
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Posted by haifeng on 2023-03-29 20:01:25
(法二)
令 F(x,y,z)=2sin(x+2y−3z)−x−2y+3z, 则
Fx′=2cos(x+2y−3z)−1,Fy′=4cos(x+2y−3z)−2,Fz′=−6cos(x+2y−3z)+3.
于是,
∂z∂x=−Fx′Fz′=−2cos(x+2y−3z)−1−6cos(x+2y−3z)+3=13,∂z∂y=−Fy′Fz′=−4cos(x+2y−3z)−2−6cos(x+2y−3z)+3=23,
因此,