问题及解答

[CJMO] 求所有三元正整数组 $(a,b,p)$, $p$ 为素数, 使得 $a^p+b^p=p!$.

首先 $a$ 和 $b$ 都小于 $p$. 否则 $a^p+b^p > p^p > p!$.

现在, 可由 Fermat 小定理推出 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$, $b^{p-1}\equiv 1\pmod p$, 从而

\[
a^p+b^p\equiv a+b\pmod p
\]

又根据条件 $a^p+b^p=p!$, 得 $a+b\equiv 0\pmod p$, 因此 $a+b=p$.

当 $a=b=1$, $p=2$ 时, 显然是解. 我们证明除此之外没有其他正整数解.

事实上, $f(x)=x^p+(p-x)^p$ 在 $x=\frac{p}{2}$ 处取得最小值, 而根据 问题3136 , 当 $p > 2$ 时,

\[p! < (\frac{p}{2})^p+ (\frac{p}{2})^p < a^p+(p-a)^p\]