问题及解答

  反双曲正弦: 
  $$y=\mathrm{arcsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$$

  反双曲余弦:
  $$y=\mathrm{arccosh}x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$$

  反双曲正切:
  $$y=\mathrm{arctanh}x=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$$

(1)

$$y=\mathrm{arcsinh}x\Rightarrow x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$$

这推出

$$(e^y{)}^2-2x{e}^y-1=0$$

从而

$$e^y=\frac{2x\pm \sqrt{(2x{)}^2+4}}{2}=x\pm \sqrt{x^2+1}$$

由于 $e^y>0$, 故舍去其中负的, 得

$$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$$

因此,

$$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1}).$$

(2)

$$y=\mathrm{arccosh}x\Rightarrow x=\cosh y=\frac{e^y+e^{-y}}{2}$$

这推出

$$(e^y{)}^2-2x{e}^y+1=0$$

从而

$$e^y=\frac{2x\pm \sqrt{(2x{)}^2-4}}{2}=x\pm \sqrt{x^2-1}$$

注意 $x=\cosh y⩾1$, 故 $x\pm \sqrt{x^2-1}>0$. 

当 $y\in (-\mathrm{\infty },0]$ 时, $e^y⩽1$, 从而

$$e^y=x-\sqrt{x^2-1}\Rightarrow y=\ln (x-\sqrt{x^2-1}).$$

当 $y\in [0,+\mathrm{\infty })$ 时, $e^y⩾1$, 从而

$$e^y=x+\sqrt{x^2-1}\Rightarrow y=\ln (x+\sqrt{x^2-1}).$$

(3)

$$y=\mathrm{arctanh}x\Rightarrow x=\tanh y=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}}$$

这推出

$$\begin{array}{rl}\Rightarrow & x=\frac{e^{2y}-1}{e^{2y}+1}\\ \Rightarrow & (1-x)e^{2y}=1+x\\ \Rightarrow & e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}\end{array}$$

由于 $e^y>0$, 故

$$e^y=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$$

从而

$$y=\ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}.$$