问题及解答

设 $x_1=\sqrt{6}$, $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$, $n=1,2,3,\dots$. 证明数列 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

$x_1=\sqrt{6}$, $x_2=\sqrt{6+x_1}=\sqrt{6+\sqrt{6}}>\sqrt{6}=x_1$.

$$x_3=\sqrt{6+x_2}>\sqrt{6+x_1}=x_2.$$

可见可使用归纳法证明 $\{x_n\}$ 是严格单调递增的.  事实上, 可设 $x_{k+1}>x_k$  成立. 则

$$x_{k+2}=\sqrt{6+x_{k+1}}>\sqrt{6+x_k}=x_{k+1}.$$

因此, $x_{n+1}>x_n$ 对所有 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 成立.

另一方面, 我们证明 $\{x_n\}$ 有上界.

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =\sqrt{6},\\ x_2& =\sqrt{6+\sqrt{6}}<\sqrt{6}+1,\\ x_3& =\sqrt{6+x_2}<\sqrt{6+\sqrt{6}+1}<\sqrt{6}+1,\end{array}$$

使用归纳法容易证明 $x_n<\sqrt{6}+1$.

因此, 由 Bolzano 定理, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ 存在.  记之为 $A$.

对 $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$ 两边求极限, 即

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n+1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{6+x_n},$$

得 $A=\sqrt{6+A}$, 又 $A⩾0$, 解得 $A=3$.

(法二)

$$x_{n+1}>x_n\iff \sqrt{6+x_n}>x_n\iff x_n^2-x_n-6<0\iff (x_n-3)(x_n+2)<0$$

因此, 只要证明 $x_n<3$, $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, 即证明了 $\{x_n\}$ 是严格单调递增数列, 从而收敛.

而根据定义 $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$, 若 $x_k<3$ 则推出 $x_{k+1}<3$. 从而由归纳法得 $\{x_n\}$ 有上界 $3$.

后面求极限的过程与法一类似.