问题及解答

设 $x_1=\sqrt{6}$, $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$, $n=1,2,3,\ldots$. 证明数列 $\{x_n\}$ 收敛, 并求其极限.

$x_1=\sqrt{6}$, $x_2=\sqrt{6+x_1}=\sqrt{6+\sqrt{6}} > \sqrt{6}=x_1$.

\[
x_3=\sqrt{6+x_2} > \sqrt{6+x_1}=x_2.
\]

可见可使用归纳法证明 $\{x_n\}$ 是严格单调递增的.  事实上, 可设 $x_{k+1} > x_k$  成立. 则

\[
x_{k+2}=\sqrt{6+x_{k+1}} > \sqrt{6+x_k}=x_{k+1}.
\]

因此, $x_{n+1} > x_n$ 对所有 $n\in\mathbb{Z}^+$ 成立.

另一方面, 我们证明 $\{x_n\}$ 有上界.

\[
\begin{aligned}
x_1&=\sqrt{6},\\
x_2&=\sqrt{6+\sqrt{6}} < \sqrt{6}+1,\\
x_3&=\sqrt{6+x_2} < \sqrt{6+\sqrt{6}+1} < \sqrt{6}+1,\\
\end{aligned}
\]

使用归纳法容易证明 $x_n < \sqrt{6}+1$.

因此, 由 Bolzano 定理, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n$ 存在.  记之为 $A$.

对 $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$ 两边求极限, 即

\[
\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{6+x_n},
\]

得 $A=\sqrt{6+A}$, 又 $A\geqslant 0$, 解得 $A=3$.

(法二)

\[
x_{n+1} > x_n \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{6+x_n} > x_n \quad\Leftrightarrow\quad x_n^2-x_n-6 < 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x_n-3)(x_n+2) < 0
\]

因此, 只要证明 $x_n < 3$, $\forall n\in\mathbb{Z}^+$, 即证明了 $\{x_n\}$ 是严格单调递增数列, 从而收敛.

而根据定义 $x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$, 若 $x_k < 3$ 则推出 $x_{k+1} < 3$. 从而由归纳法得 $\{x_n\}$ 有上界 $3$.

后面求极限的过程与法一类似.