问题及解答

证明下列不等式:

\[
\tan x > x+\frac{x^3}{3},\quad\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2}).
\]

令

\[
f(x)=\tan x-x-\frac{x^3}{3},
\]

则 $f(x)$ 是 $[0,\frac{\pi}{2})$ 上的可微函数.

\[
f'(x)=\sec^2 x-1-x^2=\tan^2 x-x^2=(\tan x-x)(\tan x+x).
\]

对于 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$, $\tan x > x > 0$, 故 $f'(x) > 0$. 而 $f(0)=0$, 因此 $f(x)>0$, $\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2})$. 命题得证.

$f(x) > 0$ 可由中值定理推出. 事实上, 对于 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$, 在 $[0,x]$ 上应用 Lagrange 中值定理,

\[
f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0) > 0.
\]

令 $F(x)=\tan x-x$, $G(x)=x^3$, 则 $F(x)$, $G(x)$ 在 $[0,x]$ 上连续, 在 $(0,x)$ 内可导. 这里 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$.

又 $G'(x)=3x^2\neq 0$, $\forall\ x\in(0,\frac{\pi}{2})$, 故可应用 Cauchy 中值定理, 存在 $\xi\in(0,x)\subset(0,\frac{\pi}{2})$, 使得

\[
\frac{\tan x-x}{x^3}=\frac{F(x)-F(0)}{G(x)-G(0)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{\sec^2 \xi-1}{3\xi^2}=\frac{\tan^2 \xi}{3\xi^2}.
\]

而 $\tan\xi>\xi$, 故 $\tan x-x>\frac{1}{3}$. 命题得证.