问题及解答

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\sin \frac{1}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

由于

$$0⩽|xy\sin \frac{1}{x^2+y^2}|⩽|xy|⩽\frac{x^2+y^2}{2},$$

故

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}f(x,y)=\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}xy\sin \frac{1}{x^2+y^2}=0.$$

即函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续.

在 $(0,0)$ 处的偏导数:

$$f_x^{\prime }(0,0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x\cdot 0\sin \frac{1}{x^2+0^2}-0}{x}=0.$$

$$f_y^{\prime }(0,0)=\underset{y\to 0}{lim}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=\underset{y\to 0}{lim}\frac{0\cdot y\sin \frac{1}{0^2+y^2}-0}{y}=0.$$

故 $f(x,y)$ 在原点的偏导数 $f_x^{\prime }(0,0)$, $f_y^{\prime }(0,0)$ 都存在, 且都是 $0$.