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问题及解答

设数列 $\{a_n\}$ 满足递推公式 $a_{n+1}=(n+1)a_n+1$, 且 $a_0=1$, 求通项 $a_n$ 的表达式.

Posted by haifeng on 2024-09-06 17:27:39 last update 2024-09-06 17:27:39 | Edit | Answers (3)

设数列 $\{a_n\}$ 满足递推公式 $a_{n+1}=(n+1)a_n+1$, 且 $a_0=1$, 求通项 $a_n$ 的表达式.

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Posted by haifeng on 2024-09-06 17:36:10

在递推公式 $a_{n+1}=(n+1)a_n+1$ 两边同除以 $(n+1)!$, 

\[
\frac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{a_n}{n!}+\frac{1}{(n+1)!}
\]

记 $b_n=\frac{a_n}{n!}$, 于是有 $b_n$ 的递推公式 $b_{n+1}=b_n+\frac{1}{(n+1)!}$.

\[
\begin{aligned}
b_{n}&=b_{n-1}+\frac{1}{n!},\\
b_{n-1}&=b_{n-2}+\frac{1}{(n-1)!},\\
b_{n-2}&=b_{n-3}+\frac{1}{(n-2)!},\\
&\vdots\\
b_1=b_0+\frac{1}{1!}
\end{aligned}
\]

这里 $b_0=\frac{a_0}{0!}=\frac{1}{1}=1$. 于是上面 $n$ 个式子相加, 可得

\[
b_n=b_0+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}
\]

而 $b_n=\frac{a_n}{n!}$, 因此

\[
a_n=n!\cdot\biggl[1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\biggr]
\]

\[
a_n=n!+n(n-1)(n-2)\cdots 2+n(n-1)(n-2)\cdots 3+\cdots+n(n-1)+n+1
\]

2

Posted by haifeng on 2024-09-06 17:40:44

>> printRecursiveSeries((n+1)*a_n+1,a_n,2,20,\n,linenumber)
[1]     2
[2]     5
[3]     16
[4]     65
[5]     326
[6]     1957
[7]     13700
[8]     109601
[9]     986410
[10]    9864101
[11]    108505112
[12]    1302061345
[13]    16926797486
[14]    236975164805
[15]    3554627472076
[16]    56874039553217
[17]    966858672404690
[18]    17403456103284421
[19]    330665665962404000
[20]    6613313319248080001
 
 
------------------------

3

Posted by haifeng on 2024-09-06 17:42:42

 

>> sum(10!k,k,1,10)
9864100
------------------------
然后再加上 1, 即得 9864101