Title_View_Answers

Answer

求不定方程 $5^{m} = 3^{n} + 2$ 的整数解.

Posted by haifeng on 2025-04-20 15:34:00 last update 2025-04-20 15:34:00 | Edit | Answers (1)

不定方程 $5^{m} = 3^{n} + 2$ 仅有一个解 $(m, n) = (1, 1)$ .

详见 number theory - $5^{m} = 2 + 3^{n}$ help what to do - Mathematics Stack Exchange

Posted by haifeng on 2025-04-20 17:38:46

首先 $(m, n) = (1, 1)$ 是方程的一个解. 当 $m > 1$ 时, 必有 $n > 1$ ; 反之也是. 因此下设 $m, n$ 均大于 1.

（当然, 可以考虑 $m, n$ 更大的初始值. 若 $m = 2$ , 则 $3^{n} + 2 = 5^{2}$ , 无解. 因此 $m ⩾ 3$ , 从而 $n ⩾ 3$ .）

将原方程改写为

$\begin{aligned} 5^{m} = 3^{n} + 5 - 3 \\ \Rightarrow & 5^{m} - 5 = 3^{n} - 3 \\ \Rightarrow & 5 (5^{m - 1} - 1) = 3 (3^{n - 1} - 1), \end{aligned}$

由于 $m ⩾ 3$ , 故 $5^{m - 1} - 1 ⩾ 24$ , 类似的 $3^{n - 1} - 1 ⩾ 8$ . 因此, $3 | (5^{m - 1} - 1)$ , $5 | (3^{n - 1} - 1)$ .

另外, $3^{2}$ 不能整除 $(5^{m - 1} - 1)$ , 否则推出 $3 | (3^{n - 1} - 1)$ , 这是不可能的. 同理 $5^{2}$ 不能整除 $(3^{n - 1} - 1)$ .

若记 $a = m - 1$ , $b = n - 1$ , 则上面最后的式子可改写为

$\frac{5^{a} - 1}{3} = \frac{3^{b} - 1}{5} .$

并且注意左边不再含有因子 $3$ , 右边不再含有因子 $5$ .

Claim 1. 若 $a = 2 k + 1$ , 则 $3$ 不能整除 $(5^{a} - 1)$ .

这是因为

$\begin{array}{r} 5 \equiv 2 (\mod 3) \\ 5^{2} \equiv 1 (\mod 3) \end{array}$

从而 $5^{2 k + 1} \equiv 2 (\mod 3)$ .

Claim 2. $3 | (5^{3 k + 1} - 1)$ 当且仅当 $k$ 是奇数.

Pf. 若 $k = 2 s$ , 则 $5^{3 k + 1} = 5^{6 s} \cdot 5$ . 而

$5^{6} \equiv 2^{6} \equiv 1 (\mod 3)$

故 $5^{6 s} \equiv 1 (\mod 3)$ , 从而 $5^{6 s + 1} \equiv 2 (\mod 3)$ , 这推出 $5^{6 s + 1} - 1 \equiv 1 (\mod 3)$ .

若 $k = 2 s + 1$ , 则 $5^{3 k + 1} = 5^{6 s + 4}$ , 从而

$5^{6 s + 4} \equiv 5^{4} \equiv 2^{4} \equiv 1 (\mod 3)$

这推出 $3 | (5^{6 s + 4} - 1)$ . 此外, 我们可以证明 $9$ 无法整除 $5^{6 s + 4} - 1$ . 因为

$5^{6 s + 4} - 1 = 5^{4} \cdot 5^{6 s} - 1 = (624 + 1) \cdot 5^{6 s} - 1 = 6 \cdot 104 \cdot 5^{6 s} + (5^{6 s} - 1),$

故 $3 | | (5^{6 s + 4} - 1)$ .

类似地, 可证明

Claim 3. $3 | (5^{3 k + 2} - 1)$ 当且仅当 $k$ 是偶数. 并且当 $k$ 是偶数时, $(5^{3 k + 2} - 1)$ 只有一个 $3$ 因子, 即无法被 $9$ 整除.

Claim 4. $3 | (5^{3 k} - 1)$ 当且仅当 $k$ 是偶数. 并且当 $k = 2 s$ 时, 由于 $5^{6} - 1 = 3^{2} \cdot 2^{3} \cdot 7 \cdot 31$ , 知 $(5^{6 s} - 1)$ 中含有的因子 $3$ 的个数等于 $3 k$ 中所含因子 $3$ 的个数加 1.

记

$[a : p] = {\begin{cases} 1, & 若 p | a, \\ 0, & 否则 . \end{cases}$

这里的 $[a : p]$ 称为 Iverson方括号(Iverson-bracket).

对于 $a$ 和 $p$ , 记 ${a, p}$ 为 $p$ 在 $a$ 中的最高阶数. 这意味着, 若 $p^{k} | | a$ , 则 ${a, p} = k$ . （这里 $p^{k} | | a$ 指 $p^{k}$ 能整除 $a$ , 但 $p^{k + 1}$ 不能整除 $a$ .）

上面这四个 Claim 说明, $3 | (5^{a} - 1)$ 当且仅当 $a$ 是偶数. 利用上面的记号, 我们还得到

${5^{a} - 1, 3} = [a : 2] (1 + {a, 3}) .$

类似可得

${3^{b} - 1, 5} = [b : 4] (1 + {b, 5} .$

由于 $5^{a} - 1$ 只含一个 $3$ -因子, 故

$a \equiv \pm 2 (\mod 6) .$

$3^{b} - 1$ 中也只含一个 $5$ -因子, 故

$b \equiv (4, 8, 12, 16) (\mod 20) .$

问题及解答

求不定方程 5m=3n+2 的整数解.

求不定方程 $5^{m} = 3^{n} + 2$ 的整数解.