问题及解答

设 $f(x)=\frac{|x|}{1+|x|}$, 证明: $f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$.

此题即证明不等式

\[
\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\leqslant\frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}.
\]

Q.  能否再举个例子, 满足 $f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$?

[idea] 右边通分, 直接硬算即可.

证明: 不等式等价于

\[
\begin{split}
&\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\leqslant\frac{|a|(1+|b|)+|b|(1+|a|)}{(1+|a|)(1+|b|)}\\
\Leftrightarrow &|a+b|(1+|a|)(1+|b|)\leqslant(1+|a+b|)\cdot\bigl[|a|+|ab|+|b|+|ab|\bigr]\\
\Leftrightarrow &|a+b|(1+|b|+|a|+|ab|)\leqslant(1+|a+b|)(|a|+|b|+2|ab|)\\
\Leftrightarrow &|a+b|+|b||a+b|+|a||a+b|+|ab||a+b|\leqslant\bigl[|a|+|b|+2|ab|+|a||a+b|+|b||a+b|+2|ab||a+b|\bigr]\\
\Leftrightarrow &|a+b|\leqslant |a|+|b|+2|ab|+|ab||a+b|.
\end{split}
\]

而这是显然成立的, 因为 $|a+b|\leqslant |a|+|b|$. 故原不等式成立.