问题及解答

设 $f$ 是 $\mathbb{I}=[a,b]\times[c,d]$ 上的有界函数. 与一元函数类似, 下面引入达布上和、达布下和与振幅的概念.

记 $M_{ij}=\sup_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)$, $m_{ij}=\inf_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)$, 并令
\[
S(\pi)=S(\pi,f)=\sum_{i,j}M_{ij}v(\mathbb{I}_{ij}),\quad s(\pi)=s(\pi,f)=\sum_{i,j}m_{ij}v(\mathbb{I}_{ij}),
\]
这里 $v(\mathbb{I}_{ij})$ 是分割中第 $(i,j)$ 个小矩形的面积. $S(\pi)$ 和 $s(\pi)$ 分别称为 $f$ 关于分割 $\pi$ 的 Darboux 上和与 Darboux 下和. 称
\[
\omega_{ij}=M_{ij}-m_{ij}=\sup_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)-\inf_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)
\]
为 $f$ 在小矩形 $\mathbb{I}_{ij}$ 上的振幅. $f$ 的上和与下和之差可以表示为
\[
S(\pi)-s(\pi)=\sum_{i,j}\omega_{ij}v(\mathbb{I}_{ij}).
\]

定义. 如果 $[a,b]$ 的分割 $\pi'_1$ 是由 $\pi_1$ 通过添加分点得到, $[c,d]$ 的分割 $\pi'_2$ 是由 $\pi_2$ 通过添加分点得到, 则称 $[a,b]\times[c,d]$ 的分割 $\pi'=\pi'_1\times\pi'_2$ 是 $\pi=\pi_1\times\pi_2$ 的一个加细.
 

对于矩形区域 $\mathbb{I}=[a,b]\times [c,d]$ 的加细分割, 证明下面的命题.

命题. 如果 $\pi'$ 是 $\pi$ 的加细, 则
\[
s(\pi)\leqslant s(\pi')\leqslant S(\pi')\leqslant S(\pi),
\]
即分割加细后下和不减, 上和不增.

其证明和一元函数完全类似. 

参考 [1] 命题13.1.1.

[1]  梅加强 编著 《数学分析》

Pf. 设 $\pi'$ 将 $\mathbb{I}$ 分割为 $s\times t$ 个小矩形, 由于 $\pi'$ 是 $\pi$ 的加细, 故 $\pi$ 中每个小矩形 $\mathbb{I}_{ij}$ 是若干个 $\mathbb{I}_{st}$ 的并, 不妨记为

\[
\mathbb{I}_{ij}=\bigcup\mathbb{I}_{st}^{(ij)},
\]

这里 $\mathbb{I}_{st}^{(ij)}$ 表示此小小矩形包含于小矩形 $\mathbb{I}_{ij}$.

\[
s(\pi)=\sum_{i,j}m_{ij}v(\mathbb{I}_{ij})\leqslant\sum_{s,t}m_{st}v(\mathbb{I}_{st})=s(\pi').
\]

类似地, 对于包含于 $\mathbb{I}_{ij}$ 的小小矩形 $\mathbb{I}_{st}^{(ij)}$, 满足

\[
M_{st}=\sup_{p\in\mathbb{I}_{st}^{(ij)}}f(p)\leqslant\sup_{p\in\mathbb{I}_{ij}}f(p)=M_{ij},
\]

因此,

\[
S(\pi')=\sum_{s,t}M_{st}v(\mathbb{I}_{st})\leqslant\sum_{i,j}M_{ij}v(\mathbb{I}_{ij})=S(\pi).
\]

而 $s(\pi')\leqslant S(\pi')$ 是显然的. Q.E.D.