问题及解答

定理. (达布) 设 $f$ 为 $\mathbb{I}=[a,b]\times[c,d]$ 上的有界函数, 则
\[
\lim_{\|\pi\|\rightarrow 0}S(\pi)=\inf_{\pi}S(\pi),\quad\lim_{\|\pi\|\rightarrow 0}s(\pi)=\sup_{\pi}s(\pi).
\]

这里 $S(\pi)$ 和 $s(\pi)$ 分别是 $f$ 在分割 $\pi$ 下的达布上和与达布下和, 具体见问题3536.