问题及解答

循环群的自同构群是交换群.

• 无限循环群 $C$ 只有两个自同构, $\text{Aut}(C)\cong C_2$;
• 有限循环群 $C_n$ 有 $\varphi(n)$ 个自同构. (这里 $\varphi$ 是 Euler $\varphi$ 函数). $\text{Aut}(C_n)$ 同构于与 $n$ 互素的 mod $n$ 的同余类的乘法群.

---

具体的, 设 $n=2^{\alpha_0}p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_m^{\alpha_m}$, 其中 $p_1 < p_2 < \cdots < p_m$ 是奇素数, $\alpha_i\geqslant 1(1\leqslant i\leqslant m)$, 则

\[ \text{Aut}(G)\cong \begin{cases} C_{p_1^{\alpha_1}-p_1^{\alpha_1-1}}\times\cdots\times C_{p_m^{\alpha_m}-p_m^{\alpha_m-1}},&\alpha_0\leqslant 1,\\ C_{2^{\alpha_0-2}}\times C_2\times C_{p_1^{\alpha_1}-p_1^{\alpha_1-1}}\times\cdots\times C_{p_m^{\alpha_m}-p_m^{\alpha_m-1}},&\alpha_0\geqslant 2. \end{cases} \]

---

该定理的证明需要下面几个引理

• 设 $p$ 为奇素数, $G=\langle a\rangle$ 是 $p^n$ 阶循环群. 则 $\text{Aut}(G)\cong C_{(p-1)p^{n-1}}$.
• 设 $G=\langle a\rangle$ 是 $2^n$ 阶循环群, $n\geqslant 3$, 则 $\text{Aut}(G)\cong C_{2^{n-2}}\times C_2$.
• 设 $G=A\times B$, $(|A|,|B|)=1$. 则 $\text{Aut}(G)\cong\text{Aut}(A)\times\text{Aut}(B)$.