问题及解答

黎曼函数指如下定义的函数

\[
R(x)=\begin{cases}
\frac{1}{q}, & \text{若}\ x\neq 0\ \text{且可表示为既约分数}\ \frac{p}{q}, \text{这里}\ q>0;\\
1, & x=0;\\
0, & \text{若}\ x\ \text{是无理数}.
\end{cases}
\]

求 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)$.

解.  设 $x=n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, 则 $x=\frac{n}{1}$, 根据定义 $R(x)=1$. 即黎曼函数在整数点上均取值 1.

若 $n < x < n+1$ (即 $\lfloor{x}\rfloor < x < \lceil{x}\rceil$), 则 $0 < x-n < 1$. 

如果 $x$ 为有理数, 则 $x-n$ 也是有理数. 不妨记 $x-n=\frac{p}{q}$, 其中 $(p,q)=1$ 且 $0 < p < q$. 于是 $R(x-n)=\frac{1}{q}$. 而 $x=n+\frac{p}{q}=\frac{nq+p}{q}$. 由于 $(p,q)=1$, 故 $nq+p$ 也与 $q$ 互素. 因此 $R(x)=\frac{1}{q}$. 这说明 $R(x)$ 是周期函数. 任何正整数都是它的周期.

因此只需考虑 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 内的极限.

首先观察到, 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)$ 存在, 则极限一定为零.

事实上, 设 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)=A$, 则

$\forall\ \varepsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得当 $0 < |x-x_0| < \delta$ 时, 有 $|R(x)-A| < \varepsilon$.

这说明对 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 中所有无理数 $\tau$, 都成立 $|R(\tau)-A| < \varepsilon$. 而 $R(\tau)=0$, 这说明 $A$ 必须为 $0$.

下面就 $x_0$ 是否为有理数进行讨论.

(i) 设 $x_0$ 是 $[0,1]$ 区间内的有理数, 即 $x_0=\frac{p}{q}$, $(p,q)=1$ 且 $0 < p < q$. 我们证明 $\lim\limits_{x\rightarrow\frac{p}{q}}R(x)=0$.

也就是验证下面的 $\varepsilon-\delta$ 语句. 

$\forall\ \varepsilon > 0$, 要找到 $\delta > 0$, 使得当 $0 < |x-\frac{p}{q}| < \delta$ 时, $|R(x)-0|=R(x) < \varepsilon$.

若 $x$ 是无理数, 则 $|R(x)-0|=|0-0|=0 < \varepsilon$ 总成立.

若 $x$ 是有理数, 由于 $x > 0$, 故不妨记 $x=\frac{a}{b}$, $(a,b)=1$ 且 $0 < a < b$. 于是 $R(x)=\frac{1}{b}$. 要使 $\frac{1}{b}\leqslant\varepsilon$ 成立, 等价于 $b\geqslant\frac{1}{\varepsilon}$. 而 $(0,1)$ 内分母 $b$ 小于 $\frac{1}{\varepsilon}$ 的有理数($x$)的个数是有限的. 故只要 $\mathring{U}(\frac{p}{q},\delta)$ 的半径 $\delta$ 取得足够小, 是可以排除掉上面这些 $x$（即分母 $b$ 小于 $\frac{1}{\varepsilon}$的这样的有理数）, 即这样的 $\delta$ 是存在的, 使得 $|R(x)-0| < \varepsilon$ 成立.

这说明对于 $(0,1)$ 内的有理数 $x_0$, $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)=0$ 成立.

(ii) 设 $x_0$ 是 $[0,1]$ 区间内的无理数. 要证 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)=0$.

即验证

$\forall\ \varepsilon > 0$, 要找到 $\delta > 0$, 使得当 $0 < |x-\frac{p}{q}| < \delta$ 时, $|R(x)-0|=R(x) < \varepsilon$.

这里的 $\varepsilon$ 不妨假设为有理数 $\varepsilon=\frac{a}{b}$. 因为如果取 $\varepsilon$ 为无理数, 由于 $R(x)$ 是有理数, 总可以将 $\varepsilon$ 放缩为一个有理数.

对于 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 中的无理数 $x$, $|R(x)-0|=|0-0| < \varepsilon$ 总成立. 主要考虑 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 中的有理数.

任取 $x'=\frac{p'}{q'}\in\mathring{U}(x_0,\delta)$, 这里 $(p',q')=1$. 对于 $R(x) > \varepsilon$ 的那些点 $x'$, 即要求 $\frac{1}{q'} > \frac{a}{b}$, 推出 $b > aq'\geqslant q'$. 而 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 内满足 $q' < b$ 的有理数 $\frac{p'}{q'}$ 是有限个. 因此, 只需将 $\delta$ 再缩小些即可排除所有这样的 $x'=\frac{p'}{q'}$. 从而使得 $\mathring{U}(x_0,\delta)$ 中的 $x'$ 都满足 $\frac{1}{q'} < \varepsilon$. 

这说明 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)=0$ 对于 $x_0$ 是无理数也成立.