问题及解答

设有 $n$ 个实数 $a_i,i=1,2,\ldots,n$. 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$, 且 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=b$.

证明: 对于任意 $i$, 有

\[a_i^2\leq\frac{n-1}{n}b\]

不妨对于 $i=n$ 来证明. $a_n=-\sum_{j=1}^{n-1}a_j$, 从而

\[a_n^2=(\sum_{j=1}^{n-1}a_j)^2\leq (n-1)\sum_{j=1}^{n-1}a_j^2=(n-1)(b-a_n^2),\]

这里利用了不等式

\[\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\leq\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n}}.\]