证明
\[\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}=+\infty\]
从而, 任意给定 $M>0$, 存在 $N=N(M)\in\mathbb{N}$, 当 $n>N$ 时,
\[\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}>M\]
找出 $N$ 与 $M$ 的关系.
如果使用编程, 输入 $M$, 输出符合条件的最小的 $N$. 分析使用哪种算法比较方便.
1
答案为 $+\infty$. 请参见问题685的答案中的推论.
2
令
\[a_n=\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}=\frac{3}{2}\frac{5}{4}\frac{7}{6}\cdots\frac{2n+1}{2n}\]
\[b_n=\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\frac{2}{1}\frac{4}{3}\frac{6}{5}\cdots\frac{2n}{2n-1}\]
\[c_n=\frac{1}{2}\frac{(2n+2)!!}{(2n+1)!!}=\frac{4}{3}\frac{6}{5}\frac{8}{7}\cdots\frac{2n+2}{2n+1}\]
显然 $c_n < a_n < b_n$, 因此
\[ n+1 = a_n c_n < a_n^2 < a_n b_n=2n+1\]
所以 $\sqrt{n+1} < a_n < \sqrt{2n+1}$. 从这点也可立即得出 $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$ 发散.
因此, 任给 $M>0$, 存在 $N=M^2-1$, 使得当 $n>N$ 时, 有 $a_n > M$.