问题及解答

设 $X,Y$ 是流形 $M$ 上的向量场, $f,g\in C^{\infty}(M)$, 证明
\[[fX,gY]=fg[X,Y]+f(Xg)Y-g(Yf)X\]

其中 $[\cdot,\cdot]$ 是李括号, $[X,Y]=XY-YX$.

\[
\begin{split}
[fX,gY]&=fX(gY)-gY(fX)\\
&=f(Xg)Y+fgXY-(g(Yf)X+gfYX)\\
&=fg(XY-YX)+f(Xg)Y-g(Yf)X\\
&=fg[X,Y]+f(Xg)Y-g(Yf)X
\end{split}
\]