问题及解答

例如:

$X=\mathbb{E}^1$, 定义关系 $r$ 为

\[r=(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})\cup\bigl((\mathbb{R}-\mathbb{Q})\times(\mathbb{R}-\mathbb{Q})\bigr).\]

即 $xry$ 或者 $(x,y)\in r$ 当且仅当 $x,y$ 同为有理数或者同为无理数. 则 $X/r$ 只含有两个点(有理数等价类与无理数等价类).

$X$ 是 Hausdorff 的, 但是 $X/r$ 不是 Hausdorff 的.

另一例子见问题764.

References:

陆文钊、陈肇姜 编著 《点集拓扑学》 P.154