问题及解答

设 $\langle X,\tau\rangle$ 是 Hausdorff 拓扑空间, $A$ 是 $X$ 中的紧集, 证明 $A$ 是闭集.

任取 $p\in A^{c}=X-A$, 任取 $x\in A$, 由于 $X$ 是 Hausdorff 的, 故存在 $U_{px}\in\tau$, $V_x\in\tau$, 使得 $U_{px}\cap V_x=\emptyset$.

于是 $\{V_x\}_{x\in A}$ 覆盖了 $A$. 由 $A$ 的紧致性, 存在有限子覆盖 $\{V_{x_j}\}_{j=1}^n$. 相应于这些 $V_{x_j}$, 对于 $U_{px_j}$, $j=1,2,\ldots,n$ 取交集

\[U_p:=\bigcap_{j=1}^{n}U_{px_j},\]

$U_p$ 仍是 $p$ 的开集. 并且

\[U_p\bigcap\biggl(\bigcup_{j=1}^{n}V_{x_j}\biggr)=\emptyset\]

于是 $p\in U_p\subset A^{c}$, 故 $A^c$ 是开集, $A$ 是 $X$ 中的闭集.