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问题及解答

设 $A,B$ 是拓扑群 $G$ 的子集, $x,y\in G$. 证明下面的结论.

Posted by haifeng on 2012-08-01 10:45:42 last update 2012-08-01 10:47:13 | Edit | Answers (2)

设 $A,B$ 是拓扑群 $G$ 的子集, $x,y\in G$. 证明:

(1) $\bar{A}\bar{B}\subset\overline{AB}$;

(2) $(\bar{A})^{-1}=\overline{A^{-1}}$;

(3) $x\bar{A}y=\overline{xAy}$;

(4) 若 $A$ 是 $G$ 的子群, 则 $\bar{A}$ 是 $G$ 的子群.


References:

黎景辉, 冯绪宁 著 《拓扑群引论》 科学出版社 1999. [pp. 43 习题 10.]

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Posted by haifeng on 2012-08-01 11:27:24

(1) 任取 $a\in\bar{A}$, $b\in\bar{B}$. 要证 $ab\in\overline{AB}$.

任取 $ab$ 的邻域 $V$, 则 $e\in (ab)^{-1}V$, $e\in a^{-1}Vb^{-1}$, $e\in V(ab)^{-1}$.

不妨考虑 $U=a^{-1}Vb^{-1}$, $U$ 是单位元 $e$ 的邻域. 我们证明 $aUb\cap AB\neq\emptyset$.

对于 $U$, 存在 $e$ 的开邻域 $W$, 使得 $W^2=WW\subset U$. (见问题875)

由于 $W$ 是 $e$ 的开邻域, 而 $a\in\bar{A}$, $b\in\bar{B}$, 故

\[aW\cap A\neq\emptyset,\quad Wb\cap B\neq\emptyset.\]

这推出存在 $w_1,w_2\in W$, 使得 $aw_1\in A$, $w_2 b\in B$. 从而 $aw_1w_2b\in AB$. 又 $w_1w_2\in W^2\subset U$, 故 $aw_1w_2b\in aUb$. 因此 $aUb\cap AB\neq\emptyset$.

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Posted by haifeng on 2012-08-01 11:27:56

(4) 对任意 $a,b\in\bar{A}$, 要证 $ab^{-1}\in\bar{A}$.

任取 $ab^{-1}$ 的邻域 $V$, $e\in a^{-1}Vb=:U$, $e\in ba^{-1}V$, $e\in Vba^{-1}$.

对于 $U$, 这是单位元的邻域, 故存在 $W$(也是单位元邻域), 使得 $W=W^{-1}$, 且 $W^2=WW\subset U$.(详见问题875)

由于 $aW$, $bW$ 分别是 $a$, $b$ 的邻域, 因此

\[aW\cap A\neq\emptyset,\quad bW\cap A\neq\emptyset.\]

这推出存在 $w_1,w_2\in W$, 使得 $aw_1\in A$, $bw_2\in A$. 由于 $A$ 是 $G$ 的子群, 故

\[aw_1\cdot(bw_2)^{-1}\in A.\]

即 $aw_1w_2^{-1}b\in A$. 因此 $aUb\cap A\neq\emptyset$.

因此 $V\cap A\neq\emptyset$.