问题

设 $A,B$ 是拓扑群 $G$ 的子集, $x,y\in G$. 证明:

(1) $\bar{A}\bar{B}\subset\overline{AB}$;

(2) $(\bar{A})^{-1}=\overline{A^{-1}}$;

(3) $x\bar{A}y=\overline{xAy}$;

(4) 若 $A$ 是 $G$ 的子群, 则 $\bar{A}$ 是 $G$ 的子群.

References:

黎景辉, 冯绪宁 著 《拓扑群引论》 科学出版社 1999. [pp. 43 习题 10.]