问题及解答

记 $\mathfrak{J}_t(\omega)$ 为所有被 $\omega$ 驯化(tamed)的近复结构组成的集合. 考虑 $\mathbb{C}^n$, 及上面的典范结构 ($J_0$, $\omega$, 及数量积).

证明: 映射

\[
\begin{array}{rcl}
\Phi:\ \mathfrak{J}_t(\omega)&\rightarrow&B=\{S\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid J_0 S+S J_0=0,\ \text{且}\ \|S\| < 1\}\\
J&\mapsto& (J+J_0)^{-1}\circ(J-J_0)
\end{array}
\]

是微分同胚.

类似的记 $\mathfrak{J}_c(\omega)$ 为所有 $\omega$-calibrated 的近复结构组成的集合. 则映射

\[
\begin{array}{rcl}
\Phi:\ \mathfrak{J}_c(\omega)&\rightarrow&B=\{S\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid J_0 S+S J_0=0,\ S^T=S,\ \text{且}\ \|S\| < 1\}\\
J&\mapsto& (J+J_0)^{-1}\circ(J-J_0)
\end{array}
\]

是微分同胚.

Remark:

这里 近复结构 $J$ 是 $\omega$-tamed, 指

\[\omega[x](v,J_x v) > 0\]

对任意 $x\in M$, $v\in T_x M$, $v\neq 0$ 成立. 即 $J$ 是 $\omega$-tamed 的, 仅是要求双线性形式 $\omega(\cdot, J\cdot)$ 是正定的, 或者说 $\omega$ 是 $J$-positive 的.

因此 $\mathfrak{J}_c(\omega)\subset\mathfrak{J}_t(\omega)$.

这里我们即将 $J$, $J_0$ 视为线性映射, 亦视为在某个基下满足 $J^2=-\mathrm{id}$ 的 $2n\times 2n$ 矩阵.

Claim 1. $J+J_0$ 是可逆的, 从而定义合理.

Pf. 由于 $J+J_0$ 是线性映射, 因此只需证明 $\ker(J+J_0)=\{0\}$. 事实上, 如果有 $v\neq 0$, 使得 $(J+J_0)v=0$, 则 $0=\omega(v,(J+J_0)v)=\omega(v,Jv)+\omega(v,J_0 v) > 0$, 矛盾.

Q.E.D of Claim 1.

下面证明 $S:=(J+J_0)^{-1}(J-J_0)$ 满足 $J_0 S+SJ_0=0$.

\[
\begin{split}
&J_0(J+J_0)^{-1}(J-J_0)+(J+J_0)^{-1}(J-J_0)J_0\\
=&J_0(J+J_0)^{-1}(J-J_0)+(J+J_0)^{-1}(JJ_0+I)\\
=&J_0(J+J_0)^{-1}(J-J_0)+(J+J_0)^{-1}J(J_0-J)\\
=&\bigl(J_0(J+J_0)^{-1}-(J+J_0)^{-1}J\bigr)(J-J_0)\\
\end{split}
\]

令 $H=J_0(J+J_0)^{-1}-(J+J_0)^{-1}J$, 则

\[
\begin{split}
&(J+J_0)H=(J+J_0)J_0(J+J_0)^{-1}-J\\
\Rightarrow&(J+J_0)H(J+J_0)=(J+J_0)J_0-J(J+J_0)\\
\Rightarrow&(J+J_0)H(J+J_0)=0\\
\Rightarrow&H=0.
\end{split}
\]

因此, $S:=(J+J_0)^{-1}(J-J_0)$ 满足 $J_0 S+SJ_0=0$.

最后, 我们证明 $S:=(J+J_0)^{-1}(J-J_0)$ 的范数小于 1. 如果能证明 $\|Sv\| < \|v\|$ 对任意 $v\neq 0$ 成立, 则立即推出 $\|S\| < 1$. 因为

\[\|S\|=\sup_{\|v\|=1}\|Sv\|=\max_{\|v\|=1}\|Sv\| < 1,\]

这里之所以上确界就是最大值, 是因为有限维向量空间中 $\{v\ :\ \|v\|=1\}$ 是紧集.

Claim 3. $\|Sv\| < \|v\|$.

Pf. 首先将 $S$ 改写为

\[S=(J+J_0)^{-1}(J-J_0)=\bigl(J_0(J_0^{-1}J+I)\bigr)^{-1}J_0(J_0^{-1}J-I)=(J_0^{-1}J+I)^{-1}(J_0^{-1}J-I)\]

若记 $A=J_0^{-1}J$, 则 $S=(A+I)^{-1}(A-I)$. 任取 $v\neq 0$,

\[Sv=(A+I)^{-1}(A-I)v,\quad\Rightarrow (A+I)Sv=(A-I)v\]

因此等价于证明

\[\|A+I\| > \|A-I\|\]

也就是说, 对任意 $x\neq 0$, 有

\[
\begin{split}
&\|Ax+x\| > \|Ax-x\|\\
\Leftrightarrow&\langle Ax+x,Ax+x\rangle > \langle Ax-x,Ax-x\rangle\\
\Leftrightarrow&\langle x,Ax\rangle > 0\\
\end{split}
\]

这里的内积 $\langle\cdot,\cdot\rangle=\omega(\cdot,J_0\cdot)$,

\[\langle x,Ax\rangle=\omega(x,J_0 Ax)=\omega(x,Jx) > 0,\ \forall\ x\neq 0.\]

因此 $\|A+I\| > \|A-I\|$ 成立, 故而 $\|Sv\| <\|v\|$.

Q.E.D of Claim 3.

Claim 4. $I-S$ 可逆.

Pf. 由于 $\|S\| < 1$, 故其特征值的模均小于 1. 若 $\det(I-S)=0$, 则存在特征值 1. 矛盾.

Q.E.D of Claim 4.

因此, 由 $S=(A+I)^{-1}(A-I)$ 反解出 $A$,

\[A=(I+S)(I-S)^{-1},\]

因此

\[S\mapsto J_0(I+S)(I-S)^{-1}\]

定义了 $\mathfrak{J}_t(\omega)$ 到 $B$ 的逆映射, 这是光滑的.(从矩阵元素的角度看即可.)

另外, 需要注意的是这里的 $J$ 与 $J_0$ 不可交换. 因为有

Claim. 若 $JJ_0=J_0 J$, 且 $J\neq J_0$, 则 $J+J_0$ 不可逆.

Pf. 由于 $JJ_0=J_0 J$, 故

\[(J+J_0)(J+J_0)=J^2+J_0^2+2JJ_0=2(JJ_0-I)=2(JJ_0+JJ)=2J(J+J_0)\]

另一方面, 类似的,

\[(J+J_0)(J+J_0)=2(JJ_0-I)=2(JJ_0+J_0J_0)=2(J+J_0)J_0=2J_0(J+J_0)\]

因此

\[J(J+J_0)=J_0(J+J_0)\]

由于 $J+J_0$ 是可逆的, 故推出 $J_0=J$, 矛盾.

Q.E.D of Claim 2.