辛流形上被辛形式 $\omega$ 驯化的所有近复结构构成的集合是可缩的.
记 $\mathfrak{J}_t(\omega)$ 为所有被 $\omega$ 驯化(tamed)的近复结构组成的集合. 考虑 $\mathbb{C}^n$, 及上面的典范结构 ($J_0$, $\omega$, 及数量积).
证明: 映射
\[
\begin{array}{rcl}
\Phi:\ \mathfrak{J}_t(\omega)&\rightarrow&B=\{S\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid J_0 S+S J_0=0,\ \text{且}\ \|S\| < 1\}\\
J&\mapsto& (J+J_0)^{-1}\circ(J-J_0)
\end{array}
\]
是微分同胚.
类似的记 $\mathfrak{J}_c(\omega)$ 为所有 $\omega$-calibrated 的近复结构组成的集合. 则映射
\[
\begin{array}{rcl}
\Phi:\ \mathfrak{J}_c(\omega)&\rightarrow&B=\{S\in\mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{R})\mid J_0 S+S J_0=0,\ S^T=S,\ \text{且}\ \|S\| < 1\}\\
J&\mapsto& (J+J_0)^{-1}\circ(J-J_0)
\end{array}
\]
是微分同胚.
Remark:
这里 近复结构 $J$ 是 $\omega$-tamed, 指
\[\omega[x](v,J_x v) > 0\]
对任意 $x\in M$, $v\in T_x M$, $v\neq 0$ 成立. 即 $J$ 是 $\omega$-tamed 的, 仅是要求双线性形式 $\omega(\cdot, J\cdot)$ 是正定的, 或者说 $\omega$ 是 $J$-positive 的.
因此 $\mathfrak{J}_c(\omega)\subset\mathfrak{J}_t(\omega)$.