问题及解答

定理(MsShane-Whitney 扩展定理). 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则它可以扩展到整个 $\mathbb{R}^n$ 上, 即存在一个 $L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$, 使得 $F|_A=f$.

推论 2.4. 设 $f:A\rightarrow\mathbb{R}^m$, $A\subset\mathbb{R}^n$ 是一个 $L$-Lipschitz 函数. 则存在一个 $\sqrt{m}L$-Lipschitz 函数 $F:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$, 使得 $F|_A=f$.

证明: 对映射 $f$ 的 $m$ 个分量函数直接应用定理2.3 即可.

注: 推论中的系数 $\sqrt{m}$ 实际上是多余的, 也就是说仍可以扩展为一个 $L$-Lipschitz 映射(见 Kirszbraun 定理). 但证明很困难.

Question: 有没有其他应用?

详见问题974