问题及解答

[Thm](Rademacher 定理) $\mathbb{R}^n$ 上的 Lipschitz 函数几乎处处可微.

[Def] 设 $X$ 和 $Y$ 是 Banach 空间, $U$ 是 $X$ 中的开集, 称映射 $f:U\rightarrow Y$ 在点 $x\in U$ 处可微, 若存在一个有界线性映射 $df_x:X\rightarrow Y$ 使得
\[
f(x+h)-f(x)=df_x(h)+o(h).
\]
这意味着对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta>0$ 使得对满足 $\|h\|<\delta$ 的任意 $h$, 有
\[
\|f(x+h)-f(x)-df_x(h)\|\leqslant\varepsilon\|h\|.
\]
 

可以得到一个 Sobolev 空间版本的 Rademacher 定理, 参见下面的

www.math.harvard.edu/archive/212b_spring_05/handouts/Rademacher.pdf

或参考 [Fred, 3.1.6]

[Fred] Federer, H., Geometric Measure Theory, Springer, 1969.