问题

设 $\Omega$ 是某个实向量空间 $V$ 上的一个双线性反对称形式. 证明存在 $V$ 的一组基

\[
u_1,\ldots,u_k; e_1,\ldots,e_n; f_1,\ldots,f_n;
\]

使得对所有的 $i,j,l,m$, 有

\[
\begin{array}{ll}
\Omega(u_i,v)=0,& \forall\ i, \forall\ v\in V\\
\Omega(e_i,e_j)=0=\Omega(f_i,f_j),& \forall\ i,j\\
\Omega(e_i,f_j)=\delta_{ij},& \forall\ i,j
\end{array}
\]

注意: 定理中这样的基并不惟一, 但我们还是将这组基称为典范的.

在这组基下, 双线性形式 $\Omega(\cdot,\cdot)$ 可表示为下面的矩阵形式:

\[
\Omega(u,v)=[--- u ---]
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & Id\\
0 & -Id & 0
\end{pmatrix}
\begin{bmatrix}
|\\ v\\ |
\end{bmatrix}
\]

定义映射

\[
\begin{array}{rcl}
\widetilde{\Omega}:\ V&\rightarrow& V^*\\
v&\mapsto&\widetilde{\Omega}(v)
\end{array}
\]

这里定义 $\widetilde{\Omega}(v)(u):=\Omega(v,u)$. 显然 $\widetilde{\Omega}$ 是一个线性映射. 并且 $\widetilde{\Omega}$ 的核(kernel)就是上面的子空间 $U$.

Def. 如果 $\widetilde{\Omega}$ 是双射, 即 $U=\{0\}$, 则称反对称双线性形式 $\Omega$ 是辛的(symplectic)或是非退化的(nondegenerate). 此时称 $\Omega$ 为向量空间 $V$ 上的线性辛结构. $(V,\Omega)$ 称为辛向量空间.

假设 $V$ 是 $2n$ 维实向量空间(或者是某个域上的向量空间, 但是要求这个域的特征为零),  $\Omega$ 是 $V$ 上的一个双线性反对称形式. 证明: $\Omega^n=\underbrace{\Omega\wedge\cdots\wedge\Omega}_{n}\neq 0$ 当且仅当 $\Omega$ 非退化.

因此, 辛向量空间 $(V,\Omega)$ 具有 calibrated 的复结构.(关于复结构是 calibrated 的定义, 参见问题73.)