问题

一个凸多边形, 其内接三角形的面积小于等于 1, 问这个凸多边形的面积的最小上界是多少?

[Hint] 首先从直觉上, 我们会认为这样的凸多边形它趋向于一个圆.

为便于理解, 我们可以先考虑边数是 3 的情形, 即三角形. 记这个三角形为 ${\mathrm{\Delta }}_1$, 它的任何内接三角形的面积当然不超过自身. 所以 $S({\mathrm{\Delta }}_1)⩽1$. 我们需要构造一列面积递增的三角形序列, 并且其直径有上界. 不难证明 ${\mathrm{\Delta }}_n$ 趋向于一个直径等于 $4\cdot 3^{-\frac{3}{4}}$ 的正三角形.

那么对于边数 $n=4$ 的情形. 设这个序列为 $D_m$, $m=1,2,\dots$. 其面积 $S(D_m)$ 递增, 并且 $d_m=\text{diam}(D_m)$ 有上界. 这个 $D_m$ 趋向于一个直径等于 $4\cdot 3^{-\frac{3}{4}}$ 的正方形.

最后, 为了证明的严格性, 假设这样的直径(也就是直径的上确界)大于 $4\cdot 3^{-\frac{3}{4}}$, 则一定可以得到矛盾.

结论: 面积上确界是 $\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$.

Remark:

即使题目中将内接三角形限定为只能是由顶点构成的内接三角形, 结论也是一样的. 我们只需要先考虑上面的一般情况就能理解了. 至于这样限定, 并没有多大意义.