问题

$n$ 阶 Bessel 微分方程是指

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-n^2)y=0.
\]

这是一个二阶齐次线性微分方程.(两边除以 $x^2$, 可以化为 $y''+p(t)y'+q(t)y=0$.)

它的一般解可以表示为两个基本解的线性组合.

 

这个方程的解被称为阶为 $n$ 的第一类 Bessel 函数, 记为 $J_n(x)$. 关于 $J_n(x)$ 没有简单的表达式. $J_n(x)$ 的两个定义, 一个是无穷级数; 另一个是无穷积分, 其反导数(anti-derivative)不存在.

\[
J_n(x)=\sum_{m=0}^{\infty}(-1)^m \frac{(x/2)^{n+2m}}{m!(n+m)!}\quad\text{和}\quad J_n(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\cos\bigl[n\theta-x\sin\theta\bigr]d\theta
\]

例如,

\[
J_n(0)=\begin{cases}
1, & n = 0,\\
0, & n > 0.
\end{cases}
\]

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Bessel 函数也可以定义为满足如下递推关系的函数 $Z_n(x)$:

\[
\begin{cases}
Z_{n+1}+Z_{n-1}&=\frac{2n}{x}Z_n,\\
Z_{n+1}-Z_{n-1}&=-2\frac{dZ_n}{dx}.\\
\end{cases}
\]

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根据 $J_n(x)$ 的这个级数表示,

\[
J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}(\frac{x}{2})^{2k+n},
\]

可以得到关于 $J_n(x)$ 的下标平移公式:

\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dx}\bigl[x^{-n}J_n(x)\bigr]&=-x^{-n}J_{n+1}(x),\\
\frac{d}{dx}\bigl[x^n J_n(x)\bigr]&=x^n J_{n-1}(x).
\end{aligned}
\]

(证明参见Answer链接.)

例如, $J'_0(x)=-J_1(x)$.

这两个公式表明 $J_n(x)$ 是振荡的: 第一个平移公式指出 $\frac{d}{dx}[x^{-n}J_n(x)]$ 在 $x^{-n}J_{n+1}(x)$ 的两个相邻零点之间取值为零. 也就是说, $J_n, J_{n+1}$ 的零点是彼此间隔的. (见下图)

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$J_n(x)$ 的图像:

 

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当 $x$ 增加时, $J_n(x)$ 变得越来越接近 $\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)]$, 也即跟带有与$n$有关的相位移, 衰变如 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 那样的振幅的 cosine 函数非常像. 我们将此写为

\[
J_n(x)\ \sim\ \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)],\quad\text{当}\ x\rightarrow\infty.
\]

类似地, 

\[
Y_n(x)\ \sim\ \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin[x-\frac{\pi}{4}(1+2n)],\quad\text{当}\ x\rightarrow\infty.
\]

 

 

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修改过的 Bessel 微分方程是指

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+n^2)y=0.
\]

这个方程的解被称为 modified Bessel functions of the first kind and second kinds. 可以写为

\[
\begin{split}
y&=a_1 J_n(-ix)+a_2 Y_n(-ix)\\
&=c_1 I_n(x)+c_2 K_n(x),
\end{split}
\]

其中 $J_n(x)$ 是第一类 Bessel 函数, $Y_n(x)$ 是第二类 Bessel 函数.

$I_n(x)$ 是修改后的第一类 Bessel 函数(modified Bessel of the first kind),

$K_n(x)$ 是修改后的第二类 Bessel 函数(modified Bessel of the second kind).

若 $n=0$, 则修改后的 Bessel 微分方程变为

\[
x^2\frac{d^2 y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-x^2 y=0,
\]

也可以写为

\[
\frac{d}{dx}\biggl(x\frac{dy}{dx}\biggr)=xy.
\]

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第二类修改后的 Bessel 函数有时也称为 Basset 函数, 或 modified Bessel functions of the third kind (Spanier and Oldham 1987, p.499), 或 Macdonald 函数 (Spanier and Oldham 1987, p.499; Samko et al. 1993, p.20). 第二类修改后的 Bessel 函数在 Wolfram 语言中补充为 BesselK[nu, z].

$K_n(x)$ 与第一类修改后的 Bessel 函数 $I_n(x)$ 以及 Hankel 函数 $H_n(x)$ 有密切联系.

\[
\begin{split}
K_n(x)&\equiv\frac{1}{2}\pi i^{n+1} H_n^{(1)}(ix)\\
&=\frac{1}{2}\pi i^{n+1}\Bigl[J_n(ix)+iN_n(ix)\Bigr]\\
&=\frac{\pi}{2}\frac{I_{-n}(x)-I_n(x)}{\sin(n\pi)}
\end{split}
\]

(Watson 1966, p.185). 关于 $K_n(x)$ 的一个求和公式是

 

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References:

http://curvebank.calstatela.edu/bessel/bessel.htm

http://mathworld.wolfram.com/BesselFunction.html

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselDifferentialEquation.html

http://mathworld.wolfram.com/ModifiedBesselFunctionoftheSecondKind.html

http://www.math.umbc.edu/~jbell/pde_notes/F_Intro%20to%20Bessel%20Functions.pdf