问题

Ado 定理说的是

每个有限维李代数同构于一个矩阵李代数.

对于每个有限维矩阵李代数, 存在一个线性群(矩阵李群)以此为李代数. 因此, 每个抽象李代数都是某个线性李群的李代数.

一般的, 李群的整体结构(global structure)不是由其李代数决定的; 例如, 若 $Z$ 是李群 $G$ 的中心的任意一个离散子群, 则 $G$ 和 $G/Z$ 具有相同的李代数. (李群列表, 参见 https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups  , 典型群的李代数(问题1936))

一个连通李群是单的(simple), 半单的(semisimple), 可解的(solvable), 幂零的(nilpotent) 或交换的(abelian), 当且仅当其李代数具有相应的性质.

如果我们要求李群是单连通的(simply connected), 则它的整体结构可由其李代数决定: 对于域 $F$ 上的每个有限维李代数 $\mathfrak{g}$, 存在某个单连通李群 $G$ 以 $\mathfrak{g}$ 为其李代数, 且在同构意义下是唯一的. 并且, 李代数之间的同态可以唯一提升到相应的单连通李群之间的同态.

References:

https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group

https://en.wikipedia.org/wiki/Ado%27s_theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_Lie_groups