问题

英国人口学家马尔萨斯（Malthus, 1766--1834）于1798年提出了马尔萨斯模型.

马尔萨斯模型的基本假设是：

考虑某个对象关于时间的数量函数 $f(t)$. 设其增长率与当前的值之比是常数, 也即 $f'(t)=kf(t)$.

因此, 得到常微分方程模型:

\[
\begin{cases}
\frac{df}{dt}=kf(t),\\
f(0)=f_0.
\end{cases}
\]
 

解得

\[
f(t)=f_0e^{kt}.
\]

这是一个指数增长模型.

Remark:

没有限制的自然增长是危险的, 比如微生物实验初期，可以用此模型.

如果 $f'(t)$ 与 $f(t)$ 是非线性的关系, 则不属于马尔萨斯模型.