问题

设一容积为 $V$ (单位: $m^3$)的大湖受到某种物质的污染, 污染物均匀地分布在湖中.

若从某时刻起污染源被切断, 设湖水更新的速率是 $r$ (单位: $m^3/\text{天}$).

试建立求污染物浓度下降至原来的 $5%$ 需要多少时间的数学模型.

美国密歇根湖的容积为 $4871\times 10^9 m^3$, 湖水的流量为 $3.663959132\times 10^10 m^3/\text{天}$, 求污染中止后, 污染物浓度下降到原来的 $5%$ 所需要的时间.