证明: $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$.
证明: $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2$.
至少有三种证法.
(1) 数学归纳法(mathematical induction)
(2) 考虑telescoping sum $\sum\limits_{i=1}^{n}[(i+1)^4-i^4]$
(3) 由 Abu Bekr Mohammed ibn Alhusain Alkarchi 在公元后大约1010年左右证明. 使用一个边长为 $\frac{n(n+1)}{2}$ 的正方形来证明. 此正方形的边被分割成长度依次为 $1,2,3,\ldots,n$ 的线段.
(4) 第四种证明是由 David Chen (陈)的儿子（六年级）在2019年12月20日发现的. 使用了下面的观察, 也是一种 telescoping sum
首先 $i^3=(i-1)i(i+1)+i$, 然后观察到
\[
(i-1)i(i+1)=\frac{1}{4}\Bigl[(i-1)i(i+1)(i+2)-(i-2)(i-1)i(i+1)\Bigr]
\]
Note: $(i-1)i(i+1)=i(i^2-1)$ 这个形式也出现在 $y^2=x^3+x^2$ 的有理参数化中. (令 $x=t^2-1$, 则 $y=t(t^2-1)$)
代数几何中, 平面三次曲线族 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ (这里 $\lambda\in\mathbb{R}$) 只有对于 $\lambda=0$ 或 $\lambda=1$ 时能被有理参数化.
参见 Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译 《初等代数几何》P. 6-7, 例0.5.
References of (3)
James Stewart, Calculus (7th Edition) Appendix E. Exercise 40.
顺便考虑一下 $\sum\limits_{i=1}^{n}i^4$, $\sum\limits_{i=1}^{n}i^5$ 等等.