问题

1. 同时掷[zheng] 10 枚骰子[Dei zi:], 计算所有骰子点数之和被 7 整除的概率.

2. 考虑一种有 $F$ 个面的骰子, 假设投掷一次可以等概率地得到点数 $1,2,\ldots,F$. 同时投掷 $m$ 枚这样的骰子, 计算所有骰子点数之和被 $N$ 除余 $k$ 的概率.

[Hint by 吕晓东]

1. 令 $P_n$ 表示 $n$ 个骰子点数之和被 7 整除的概率. 由于普通骰子(六个面)正上面的取值为 $x\in\{1,2,3,4,5,6\}$, 因此 $n+1$ 个骰子点数之和能被 7 整除的前提是前 $n$ 个骰子点数之和不能被 7 整除. 故有递推关系

\[
P_{n+1}=(1-P_n)\cdot\frac{1}{6}
\]

乘以 $\frac{1}{6}$ 是因为第 $n+1$ 个骰子点数加上去成为 7 的倍数的概率是 $\frac{1}{6}$.

Remark:

题目来源: 同事群