莫比乌斯函数(Mobius Function/Möbius Function)
莫比乌斯函数(Mobius Function/Möbius Function) $\mu(x)$ 定义为
\[
\mu(x)=\begin{cases}
0, & \text{若}\ x \text{含有平方因子},\\
(-1)^{\omega}, & \text{若}\ x \text{不含有平方因子, 含有}\ \omega\ \text{个不同的素因子}.
\end{cases}
\]
换句话说, 设 $x$ 表示为 $p_{i_1}^{s_1}p_{i_2}^{s_2}\cdots p_{i_\omega}^{s_\omega}$,
若存在 $s_i\geqslant 2$, 则 $\mu(x)=0$; 否则, $\mu(x)=(-1)^{\omega}$.
若记 $\mu_d=\mu(d)$, 这里 $d$ 为正整数, 则有下面的定理.
定理. 对于 $m > 1$, $m\in\mathbb{Z}$, $\sum_{d}\mu_d=0$; 当 $m=1$ 时, $\sum_{d}\mu_d=1$.
这里求和 $\sum_d$ 指 $d$ 跑遍 $m$ 的所有约数.
由此定理可导出戴德金-柳维尔公式.
实验（Calculator）
>> help(mobius)
in> help(mobius)
out> M?bius 函数
Example: mobius(168)
参见问题2765 on atzjg.net
Usage:
mobius(positiveInteger)
------------------------
>> mobius(1234567)
in> mobius(1234567)
out> 1
------------------------
>> factorise(1234567)
in> factorise(1234567)
127*9721
out> 127*9721
------------------------
>> mobius(2765)
in> mobius(2765)
out> -1
------------------------
>> factorise(2765)
in> factorise(2765)
5*7*79
out> 5*7*79