若函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶连续导函数, 证明下面的不等式.
若函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶连续导函数, 即 $f\in C^2[0,1]$, 证明
\[
\max_{x\in[0,1]}|f'(x)|\leqslant 4\int_0^1 |f(x)|\mathrm{d}x+\int_0^1 |f''(x)|\mathrm{d}x.
\]
并且说明右侧常数 $4$ 是最优的, 即无法用更小的常数代替.
若函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶连续导函数, 即 $f\in C^2[0,1]$, 证明
\[
\max_{x\in[0,1]}|f'(x)|\leqslant 4\int_0^1 |f(x)|\mathrm{d}x+\int_0^1 |f''(x)|\mathrm{d}x.
\]
并且说明右侧常数 $4$ 是最优的, 即无法用更小的常数代替.