问题

计算数学 >> 离散数学 >> 组合数学
Questions in category: 组合数学 (Combinatorics).

拉姆齐数(Ramsey number)

Posted by haifeng on 2023-06-02 10:45:49 last update 2023-06-02 11:30:33 | Answers (0) | 收藏


拉姆齐数(Ramsey number)

 

引例.  任意六个人组成一个小组, 小组中或者有三个人互不相识, 或者有三个人互相认识.

使用图的术语,  将六个人视为六个点. 两个人认识则用红边(或实线)相连; 不认识则用蓝边(或虚线)相连. 则总可以找到一个红边三角形或一个蓝边三角形.

 

图论中将顶点两两连接的图称为完全图, p 个顶点的完全图记为 Kp. 于是上面的例子可以叙述为:

对于完全图 K6 的所有边进行着色, 必存在一个红边 K3 一个蓝边 K3.

此时我们记为 K6(K3,K3).

一般的, Kp(Km,Kn) 是指对于完全图 Kp 的所有边着色(红色和蓝色), 存在红色完全子图 Km 蓝色完全子图 Kn.  (这里 2m,np.)

显然, 若 Kp(Km,Kn), 则对所有比 p 大的正整数 q, 都有 Kq(Km,Kn).

 

定义.  给定正整数 m,n, 使得 Kp(Km,Kn) 成立的最小正整数 p 被称为关于 m,n拉姆齐数(Ramsey number) , 记作 r(m,n).

注: 英国逻辑学家 Frank Ramsey 首先研究了这个问题, 并最终证明了 r(m,n) 有上界. 因此这个数以他的名字命名.

 

例:  r(3,3)=6.

 

基本性质

Prop 1.  r(m,n)=r(n,m)

Pf.  通过交换两种颜色即证明.  事实上, 设 p=r(m,n), 即 Kp 所有边涂色后, 存在红色 Km 或蓝色 Kn. 若将 Kp 中两种颜色对调, 则存在红色 Kn 或蓝色 Km. 由于 p 使得 Kp(Km,Kn) 成立的最小正整数, 因此 p 也是使得 Kp(Kn,Km) 成立的最小正整数. 因此 r(n,m)=p.


Prop 2.  r(m,2)=mr(2,n)=n.

Pf.  只需证明 r(2,n)=n. 首先 r(2,n)n.  若将 Kn 所有边涂为蓝色, 则包含 Kn; 若存在某条边是红色, 则包含 K2. 证毕.

r(m,2)r(2,n) 为平凡的 Ramsey 数.

 


参考文献

[1] 殷剑宏  编著 《组合数学》.