设正整数 $n\geqslant 2$, $S_n$ 为 $n$ 阶置换群. 考虑线性空间 $V=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mid x_1+x_2+\cdots+x_n=0\}$. 对 $\tau\in S_n$, 定义线性变换 $\rho_\tau:\ V\rightarrow V$, $(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto(x_{\tau(1)},x_{\tau(2)},\ldots,x_{\tau(n)}).$ 记 $\chi(\tau)=\mathrm{tr}(\rho_\tau)$. (1) 对 $\tau\in S_n$, 求 $\chi(\tau)$ 的所有可能值; (2) 求 $\sum_{\tau\in S_n}\chi(\tau)^2$ 的值.
设正整数 $n\geqslant 2$, $S_n$ 为 $n$ 阶置换群. 考虑线性空间
\[V=\{(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mid x_1+x_2+\cdots+x_n=0\}.\]
对 $\tau\in S_n$, 定义线性变换 $\rho_\tau:\ V\rightarrow V$,
\[(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mapsto(x_{\tau(1)},x_{\tau(2)},\ldots,x_{\tau(n)}).\]
记 $\chi(\tau)=\mathrm{tr}(\rho_\tau)$.
(1) 对 $\tau\in S_n$, 求 $\chi(\tau)$ 的所有可能值;
(2) 求 $\sum_{\tau\in S_n}\chi(\tau)^2$ 的值.