问题

证明: 设 $c:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ 是一平面曲线, $e_1,e_2:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ 是该曲线的典型活动标架(distinguished Frenet frame), 则满足下面的方程.

\[\dot{e}_i(t)=\sum_{j}\omega_{ij}(t)e_j(t),\]

其中 $\omega_{ij}(t):=\dot{e}_i(t)\cdot e_j(t)=-\omega_{ji}(t)$.

曲线的第 $i$ 个曲率($i=1,2,\ldots,n-1$)定义为

\[K_i(t):=\frac{\omega_{i,i+1}(t)}{|\dot{c}(t)|}.\]

这里考虑的是平面曲线, 于是只有 $K_1$, 一般记为 $\kappa(t)$. 且由题设等于0. 因此 $\omega_{12}(t)=0,\ \forall\ t\in I$. 从而 $\dot{e}_1(t)\cdot e_2(t)=0$, 又 $e_1(t)=\dot{c}(t)/|\dot{c}(t)|$, 因此 $\dot{e}_1(t)=0,\ \forall\ t\in I$ (具体见答案, 注意并不能推出 $\ddot{c}(t)\equiv 0$), 这推出在某个参数 $s$ 下, $c:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ 是线性映射, 即是一平面曲线.

事实上, 我们可以得到下面关于直线的刻画命题.

对于平面直线, 下面的条件是等价的.

(1) $\kappa(t)=0$, 对所有 $t\in I$;

(2) $c$ 可以表示为 $c(t)=(t-t_0)v+v_0$, 其中 $t_0\in\mathbb{R}$, $v,v_0\in\mathbb{R}^2$, 且 $v\neq 0$. 即 $c$ 是一条直线.

References:

GTM51, Wilhelm Klingenberg, A Course in Differential Geometry. 微分几何教程.