基础数学研究生暑期学校
2013年基础数学研究生暑期学校
网址: http://atzjg.net/summerschool/
承办单位: 扬州大学
资助: 国家自然科学基金委数学天元基金委员会
办学目的: 加强研究生的基础课程教育; 提高基础数学专业研究生培养质量; 为研究生的学术交流提供平台.
招生对象：数学硕士研究生和低年级博士研究生
时间: 2013年6月26日至7月22日
地点: 江苏省扬州大学数学科学学院
招生人数: 100名左右
2012年基础数学研究生暑期学校
网址: http://58.192.140.139/sxxy/
承办单位: 扬州大学
资助: 国家自然科学基金委数学天元基金委员会
办学目的: 加强研究生的基础课程教育; 提高基础数学专业研究生培养质量; 为研究生的学术交流提供平台.
招生对象：数学硕士研究生和低年级博士研究生
时间: 2012年7月13日至8月12日
地点: 江苏省扬州大学数学科学学院
招生人数: 100名左右
教学课程
《现代分析基础》主讲: 南京大学 钟承奎教授
《伽罗瓦理论与模论》主讲: 上海交大 章璞教授
《流形上的几何》主讲: 扬州大学 王宏玉教授
暑期学校期间, 还将邀请相关领域的专家学者作学术报告.
报名及录取：详情请见扬州大学数学科学学院网站http://sxxy.yzu.edu.cn/, 下载 报名表.
报到时间：7月13日--7月14日。
离校时间：8月12日
教学大纲
现代分析基础教学大纲
第一章 测度与积分 （4-6学时）
1. 测度
2. 可测函数与积分
3. 积分的极限定理
4. Fubini定理及应用
第二章 $L^p$ 空间（4-6学时）
1. $L^p$ 空间的定义
2. Jensen 不等式，Holder不等式，Minkowski不等式，Hanner不等式
3. $L^p$ 空间的完备性与可分性
4. $L^p$ 空间的对偶空间
5. $L^p$ 点列的弱收敛与弱紧性
6. $L^p$ 中函数卷积
第三章 重排与积分不等式（4学时）
1. 重排不等式
2. Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式
第四章 Fourier变换与广义函数 （4-6学时）
1. Fourier 变换
2. 广义函数
3. Poisson 方程的解
第五章 Sobolev空间 （2-4学时）
1. $H^1$ 空间
2. Sobolev 嵌入定理与最佳Sobolev嵌入常数
3. 变分原理的直接方法
伽罗瓦理论与模论教学大纲
主要教学内容如下。
1 伽罗瓦理论基本定理
包括伽罗瓦对应，阿丁引理，和有限伽罗瓦扩张的主要刻画；基本定理的表述及意义、证明、例子、及用它证明代数基本定理
2 伽罗瓦群的计算
包括伽罗瓦的原始思想、纯粹方程、一般方程和素数次对称群方面的结果
3 方程根式可解的伽罗瓦大定理
包括证明
4 模范畴
包括阿丁模和诺特模
5 若当-侯德尔定理和Krull-Schmidt-Remak定理
6 半单模和Wedderburn-Artin定理
7 自由模、投射模和内射模
8 考试
流形上的几何教学大纲
第一章 平面和三维空间中的曲线论
1.1 平面上的曲线论，Frenet公式
1.2 空间曲线论，Frenet公式
第二章 技术性结论
2.1 反函数定理
2.2 常微分方程解的存在性
2.3 光滑性
第三章 流形
3.1 坐标卡
3.2 流形的定义
3.3 更多流形的例子
3.4 流形间的映射
第四章 切向量与余切向量
4.1 光滑函数的存在性
4.2 函数的求导
4.3 光滑函数求导
第五章 向量场
5.1 切丛
5.2 向量场作为导数
5.3 微分同胚的单参数群
5.4 李括号（续）
第六章 张量分析
6.1 张量积
6.2 外代数
第七章 微分形式
7.1 $p$-形式的丛
7.2 单位分解
7.3 微分形式
7.4 外导数
7.5 微分形式上的李导数
7.6 de Rham上同调
第八章 形式上的积分
8.1 定向
8.2 Stoke定理
8.3 光滑映射的度
8.4 最高维数的de Rham上同调
第九章 黎曼度量
9.1 度量张量
9.2 测地流
9.3 调和形式