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IMAGINE, THINK, and DO How to be a scientist, mathematician and an engineer, all in one? --- S. Muthu Muthukrishnan |
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Sowya 是一款运行于 Windows 下的计算软件.
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注: 自 v0.550 开始, Calculator 更名为 Sowya. [Sowya] 是吴语中数学的发音, 可在 cn.bing.com/translator 中输入 Sowya, 听其英语发音或法语发音.
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Problèmes d'affichage aléatoires
(1) $\sum_{k=1}^{n}kC_n^k=n 2^{n-1}$.
类似地, 可证明
(2) $\sum_{k=2}^{n}C_n^k C_k^2=C_n^2 2^{n-2}$.
(3) $\sum_{k=3}^{n}C_n^k C_k^3=C_n^3 2^{n-3}$.
由此可推出下面的恒等式
\[
\sum_{k=1}^{n}\binom{n}{k}k^3=2^{n-3}n^2(n+3).
\]
参见 (1 封私信) 这个组合数求和问题怎么解决？ - 知乎 (zhihu.com)