>> 6*6*6*6+6*6*6+6*6*6+6*6*6+6*6+6+6+6+6/6
in> 6*6*6*6+6*6*6+6*6*6+6*6*6+6*6+6+6+6+6/6

out> 1999

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>> 6*(6*6*6+6*6+6*6+6*6+6)+6+6+6+6/6
in> 6*(6*6*6+6*6+6*6+6*6+6)+6+6+6+6/6

out> 1999

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请使用计算机求解此问题.

一般的, 问 $M$ 是否可由 $n$ 个 $x$ 通过四则运算表示? 

Remark:

问题来源于“基础数学研究”群.

\[
\begin{matrix}
1 & 5 & 8 & 5 & 9\\
8 & 5 & 1 & 5 & 9\\
8 & 1 & 5 & 5 & 9\\
5 & 5 & 8 & 1 & 9\\
9 & 5 & 5 & 8 & 1\\
\end{matrix}
\]

这里每一行组成的五位数都是素数, 第一列和最后一列组成的五位数(18859和99991)也是素数. 还有主对角线上的元素组成的五位数15511也是素数.

Note:

95881和11551也是素数

 958815511 is a prime

9588155119999 is a prime

155119999 is a prime

1885955599991 is a prime

158595559 is a prime

188595581 is a prime

某小组共有11个组员, 代号分别是 A,B,C,...,K. 这些人分为两派, 一派人总说实话, 另一派人总说谎话. 有人问他们: "你们11个人当中, 总说谎话的共有几人?"

共有 9 人回答了这个问题. 以下分别是他们的回答,

请问这11个人中, 说真话的有几人? 分别是谁?

Remark:

此题由 Qunying Zhang 提供

假设使用某国的货币（指纸币和硬币）, 要得到 $x$ 元, 要求是使用最少的钞票和硬币. 将这种取法称为最优方案.

比如美国货币, 我们要找出 17 美元 61 美分.

方案:

• 一张 10 元美钞;
• 一张 5 元美钞;
• 两张 1 元美钞;
• 两个 25 分币;
• 一个 10 分币;
• 一个 1 分币.

对于美国货币系统, 可以证明对任意 $x$, 可以找到最优方案.

References:

Mark Allen Weiss, Data Structures and Algorithm Analysis in C++, (Third Edition).

张怀勇 等译, 《数据结构与算法分析 C++ 描述》（第三版） [Chapter 10. Page. 296]

将数字 $1,2,3,\ldots,12$ 填入下面的表格, 使得每行、每列以及每个田字格内的四个数字之和都相等.  (Note: 这里的行和列也指包含四个数字的行和列.)

Remark:

这是小学四年级的题目. (From 江苏课本练习某难题)

题目来源：张影老师.

设 $A$ 是由正整数 $\{1,2,3,...,16\}$ 构成的 $4\times 4$ 矩阵. 对矩阵只能进行行平移和列平移操作. 具体如下:

\[
(a_1,a_2,a_3,a_4)\mapsto(a_2,a_3,a_4,a_1)
\]
 

\[
\begin{pmatrix}
b_1\\
b_2\\
b_3\\
b_4\\
\end{pmatrix}\mapsto
\begin{pmatrix}
b_2\\
b_3\\
b_4\\
b_1\\
\end{pmatrix}
\]

现在，第一步，从矩阵中删去元素 1.

然后，在行平移和列平移的过程中，如果两个相邻的数 $a$ 和 $b$, 若满足 $a|b$, 则删去 $b$.

问:

（1）是否最后一定能得到 $1,2,3,\ldots,16$ 中的素数集 $\{2,3,5,7,11,13\}$ ?

（2）最少需要经过多少步骤？最多的步骤是多少？

（3）一般的对于 $n$ 阶方阵，是否也有相应的结论？

请编程尝试，然后从理论上解决此问题。

将0,1,2,...,9这十个数字填到下面的方框中, 使得算式成立.

注: 这里我们认为四位数的千位可以是 0.

证明: (1) 四位数的千位只能是 0 或 1;
(2) 0 只能出现在四位数中.
(3) 能否证明四位数的最后一位不是 0?

请编写一个程序, 计算所有可能的解. 并进一步改进你的算法.

\[
\begin{aligned}
7+1&=8,\\
-3+12&=09,\\
187+123&=310,\\
2187+1234&=3421,\\
2187+12345&=14532,\\
2187+123456&=125643,\\
2187+1234567&=1236754,\\
2187+12345678&=12347865,\\
2187+123456789&=123458976,\\
1197+1234567890&=1234569087,\\
-8703+12345678901&=12345670198,\\
-7803+123456789012&=123456781209,\\
2187+1234567890123&=1234567892310,\\
2187+12345678901234&=12345678903421,\\
\end{aligned}
\]

如果我们从 $6+1=7$ 开始

\[
\begin{split}
6+1&=7,\\
-4+12&=08,\\
296+123&=419,\\
286+1234&=1520,\\
286+12345&=12631,\\
286+123456&=123742,\\
286+1234567&=1234853,\\
286+12345678&=12345964,\\
-714+123456789&=123456075,\\
-704+1234567890&=1234567186,\\
-604+12345678901&=12345678297,\\
296+123456789012&=123456789308,\\
296+1234567890123&=1234567890419,\\
286+12345678901234&=12345678901520,\\
\end{split}
\]

设依次为 [a, (b] c, [d), e, (f], g, [h), i]

首先 a, i>=3. 若 a=c+d 为 3=1+2,  则 i必须是9. 且9=4+5.
但是这推不出解。因此，首尾的数 a 和 i 都大于 3. 

确定 a 和 i 的取值范围后，就变成了三元未定方程组了。整个可以用编程实现。

根据问题我们得到
    a=c+d
b+c=e+f
d+e=g+h
f+g=i

注意如果确定了 a 和 i. 那么, 中间两个方程可以认为是同等地位的.

比如选择 a=3, 于是确定 i=9. (可以使用子程序确定)

于是方程组变为
   3=2+1
b+c=e+f
d+e=g+h
4+5=9

因此不妨设 f=4, g=5.  于是对于 (c,d)=(1,2) or (2,1) 代入, 将将剩余的数字代入检验是否是解。

比如下面是其中一个解.

9（4）1（8）3（2）5（6）7

\[
2^{25}+1=33554433=3 \times 11 \times 251 \times 4051.
\]

非常好记.