Questions in category: 数学竞赛 (Mathematical Competition)
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1. 设 $x,y,z$ 三个实数满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}$, $x+y+z=2019$. 求 $S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)$ 的值.

Posted by haifeng on 2019-07-17 11:21:27 last update 2019-07-17 11:35:33 | Answers (1) | 收藏


设 $x,y,z$ 三个实数满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}$, $x+y+z=2019$. 求

\[
S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)
\]

的值.


 

事实上, 题目可以改为:

若三个实数 $x,y,z$ 满足

\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z},
\]

证明其中两个数互为相反数.

 

试推理之.

2. ITAMO2019第五题

Posted by haifeng on 2019-05-30 13:15:50 last update 2019-05-30 13:19:34 | Answers (0) | 收藏


2019年意大利数学奥林匹克(简称ITAMO)第五题

 

3. 已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且 $\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c}$, 证明: $a+b+c=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:40:04 last update 2018-10-04 06:51:49 | Answers (1) | 收藏


已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且

\[
\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c},
\]

证明: $a+b+c=0$.

 

 


Remark: 题目由 David Chen 提供.
 

4. 若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:36:21 last update 2018-10-06 10:59:07 | Answers (1) | 收藏


若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

 

 

Remark: 题目由 David Chen 提供.


 

Question: 能否推广到 $n$ 个数? 即下面的命题是否成立?

 

命题: 设 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $n$ 个不全相等的实数, 这里$n\geqslant 3$, 且满足关系式

\[
a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=a_3+\frac{1}{a_4}=\cdots=a_{n-1}+\frac{1}{a_n}=a_n+\frac{1}{a_1}=k,
\]

\[
k+\prod_{i=1}^{n}a_i=0.
\]

5. 已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

Posted by haifeng on 2018-09-27 00:05:13 last update 2018-09-27 00:12:58 | Answers (2) | 收藏


已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

 

 


 

Remark: 题目有 David Chen 提供.

6. 已知 $a,b$ 满足恒等式 $(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)$, 证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.

Posted by haifeng on 2018-08-28 18:30:39 last update 2018-08-28 18:34:48 | Answers (1) | 收藏


已知 $a,b$ 满足恒等式

\[
(ab-1)^2=(2ab-a-b)(a+b-2)
\]

证明: $a$ 和 $b$ 中至少有一个等于 1.
 


 

Remark:

题目来源: David Chen

7. 已知 $x,y,z$ 满足下面的方程组, 求 $x^4+y^4+z^4$ 的值.

Posted by haifeng on 2018-08-28 18:20:57 last update 2018-08-28 18:20:57 | Answers (2) | 收藏


已知 $x,y,z$ 满足下面的方程组

\[
\begin{cases}
x+y+z&=1,\\
x^2+y^2+z^2&=2,\\
x^3+y^3+z^3&=3,\\
\end{cases}
\]

求 $x^4+y^4+z^4$ 的值.

 


Remark:

题目来源: David Chen
 

8. 过正三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 作三条边的垂线, 分别交边 $BC$, $CA$, $AB$ 于 $D,E,F$ 三点. 已知 $|AF|=7\text{cm}$, $|BD|=8\text{cm}$, $|CE|=10\text{cm}$. 求正三角形 $ABC$ 的边长.

Posted by haifeng on 2018-07-11 18:32:41 last update 2018-07-11 18:37:38 | Answers (2) | 收藏


过正三角形 $ABC$ 中一点 $P$ 作三条边的垂线, 分别交边 $BC$, $CA$, $AB$ 于 $D,E,F$ 三点. 已知 $|AF|=7\text{cm}$, $|BD|=8\text{cm}$, $|CE|=10\text{cm}$. 求正三角形 $ABC$ 的边长.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remark:

题目来源:Lei LIU

9. 船的静水航行速度、顺水航行速度、逆水航行速度问题

Posted by haifeng on 2018-06-08 08:41:48 last update 2018-06-27 22:38:59 | Answers (2) | 收藏


一条河上有甲乙两个码头。甲在乙的上游50千米处。一艘客船和一艘货船分别从甲乙两码头同时出发向上游航行。两船的静水航行速度相同,客船出发时有一物品(木头)从船上落入水中,随水流漂浮。10分钟后此物品距离客船5千米。客船在航行20千米后掉头追赶此物品,追上时恰好与货船相遇。求水流速度。

 

要求:不使用方程

 

 

Remark:

题目来源: David(大卫)

10. 从 $1,2,3,\ldots,100$ 中, 最多可取出多少个数, 使得取出的数中任意两个数之和不是此两数之差的倍数.

Posted by haifeng on 2017-11-08 20:41:00 last update 2017-11-08 20:41:00 | Answers (1) | 收藏


从 $1,2,3,\ldots,100$ 中, 最多可取出多少个数, 使得取出的数中任意两个数之和不是此两数之差的倍数.
 

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