设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的两个实值函数, 满足

\[g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),\tag{*}\]

且 $f(x)$ 关于点 $(2,0)$ 中心对称, 函数 $g$ 满足 $g(0)=g(2)=1$.

问下面哪些选项是正确的.

(A)    $f(x)$ 是偶函数;
(B)    $g(x)$ 是偶函数;
(C)    $g(-1-x)=-g(-1+x)$;
(D)    $g(1-x)=g(1+x)$.

若 $abc=1$, 求 $\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ca+c+1}$ 的值.

注:  这道题硬算也是可以的.

[CJMO] 求所有三元正整数组 $(a,b,p)$, $p$ 为素数, 使得 $a^p+b^p=p!$.

若 $a,b,c,d,e$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{e}=e+\frac{1}{a}=x$, 求 $x$. 且证明: $abcde+x=0$.

类似问题: 2170

设 $x$ 是以 142857 开头的数, 即

\[
x=142857\times 10^k+m
\]

其中正整数 $m$ 是 $k$ 位数.

观察这样的 $m$ 有什么性质.

例如：

1428571
14285717
14285731

这些都是素数。

设 $x,y,z$ 三个实数满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}$, $x+y+z=2019$. 求

\[
S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)
\]

的值.

事实上, 题目可以改为:

若三个实数 $x,y,z$ 满足

\[
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z},
\]

证明其中两个数互为相反数.

试推理之.

2019年意大利数学奥林匹克（简称ITAMO）第五题

已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且

\[
\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c},
\]

证明: $a+b+c=0$.

Remark: 题目由 David Chen 提供.
 

若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

Remark: 题目由 David Chen 提供.

类似问题: 3073

Question: 能否推广到 $n$ 个数? 即下面的命题是否成立?

命题: 设 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 是 $n$ 个不全相等的实数, 这里$n\geqslant 3$, 且满足关系式

\[
a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=a_3+\frac{1}{a_4}=\cdots=a_{n-1}+\frac{1}{a_n}=a_n+\frac{1}{a_1}=k,
\]

则

\[
k+\prod_{i=1}^{n}a_i=0.
\]

已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

Remark: 题目有 David Chen 提供.