Questions in category: 数学竞赛 (Mathematical Competition)

<[1] [2] [3] >

## 1. [高中题]

Posted by haifeng on 2024-04-07 06:46:29 last update 2024-04-07 06:48:55 | Answers (3) | 收藏

$g(x+y)+g(x-y)=g(x)f(y),\tag{*}$

(A)    $f(x)$ 是偶函数;
(B)    $g(x)$ 是偶函数;
(C)    $g(-1-x)=-g(-1+x)$;
(D)    $g(1-x)=g(1+x)$.

## 2. 若 $abc=1$, 求 $\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ca+c+1}$ 的值.

Posted by haifeng on 2024-01-24 17:44:10 last update 2024-01-24 20:07:26 | Answers (3) | 收藏

## 3. [CJMO] 求所有三元正整数组 $(a,b,p)$, $p$ 为素数, 使得 $a^p+b^p=p!$.

Posted by haifeng on 2023-04-09 22:33:32 last update 2023-04-09 22:33:32 | Answers (1) | 收藏

[CJMO] 求所有三元正整数组 $(a,b,p)$, $p$ 为素数, 使得 $a^p+b^p=p!$.

## 4. 若 $a,b,c,d,e$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{d}=d+\frac{1}{e}=e+\frac{1}{a}=x$, 求 $x$. 且证明: $abcde+x=0$.

Posted by haifeng on 2023-02-13 15:28:30 last update 2023-02-13 15:51:00 | Answers (1) | 收藏

## 5. 以142857开头的素数

Posted by haifeng on 2020-05-16 16:07:45 last update 2020-05-16 18:08:06 | Answers (0) | 收藏

$x=142857\times 10^k+m$

1428571
14285717
14285731

 primes start with 142857 isPrime ​1428571 1 Y ​14285717 17 Y ​14285731 31 Y ​14285741 41 Y ​14285749 49 =7*7 ​142857107 107 Y ​142857133 133 7*19 ​142857151 151 Y ​142857157 157 Y ​142857167 167 Y ​142857173 173 Y ​142857179 179 Y ​142857191 191 Y ​142857271 271 Y ​142857287 287 7*41 ​142857289 289 17*17 ​142857293 293 Y ​142857317 317 Y ​142857343 343 7*7*7 ​142857367 367 Y ​142857373 373 Y ​142857383 383 Y ​142857397 397 Y ​142857401 401 Y ​142857413 413 7*59 ​142857427 427 7*61 ​142857437 437 19*23 ​142857457 457 Y ​142857461 461 Y 142857469 469 7*67

## 6. 设 $x,y,z$ 三个实数满足 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}$, $x+y+z=2019$. 求 $S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)$ 的值.

Posted by haifeng on 2019-07-17 11:21:27 last update 2019-07-17 11:35:33 | Answers (1) | 收藏

$S=(x-2019)(y-2019)(z-2019)$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z},$

## 7. ITAMO2019第五题

Posted by haifeng on 2019-05-30 13:15:50 last update 2019-05-30 13:19:34 | Answers (0) | 收藏

2019年意大利数学奥林匹克（简称ITAMO）第五题

## 8. 已知 $a,b,c$ 都是非零且互不相等的实数, $x,y$ 中至少有一个不为零, 且 $\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c}$, 证明: $a+b+c=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:40:04 last update 2018-10-04 06:51:49 | Answers (1) | 收藏

$\frac{bx+cy}{a}=\frac{cx+ay}{b}=\frac{ax+by}{c},$

Remark: 题目由 David Chen 提供.

## 9. 若 $a,b,c$ 是不全相等的实数, 且 $a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=k$, 证明: $abc+k=0$.

Posted by haifeng on 2018-10-03 23:36:21 last update 2023-02-13 15:56:50 | Answers (1) | 收藏

Remark: 题目由 David Chen 提供.

Question: 能否推广到 $n$ 个数? 即下面的命题是否成立?

$a_1+\frac{1}{a_2}=a_2+\frac{1}{a_3}=a_3+\frac{1}{a_4}=\cdots=a_{n-1}+\frac{1}{a_n}=a_n+\frac{1}{a_1}=k,$

$k+\prod_{i=1}^{n}a_i=0.$

## 10. 已知 $a+b+c=a^2+b^2+c^2=2$, 证明 $a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2$.

Posted by haifeng on 2018-09-27 00:05:13 last update 2018-09-27 00:12:58 | Answers (2) | 收藏

Remark: 题目有 David Chen 提供.

<[1] [2] [3] >